- Meer over inbedding en geodetische lijnen.
Alle oppervlakken kunnen niet in R3 worden ingebed. Beschouw bijvoorbeeld de metriek
(134)
waarbij Rs > 0 en r > 0
is gedefinieerd op R modulo 2 
Uitgedrukt in deze [ r , ] eigen coördinaten, is dit lijnelement bijna overal regular (behalve in het punt r = 0). Elders doen zich geen problemen voor. De isometrische groep is O2. De banen van de groep zijn cirkels r = constante. We zouden kunnen denken dat dit oppervlak in R3 kan worden ingebed, waar het asymmetrisch zou lijken rond een z-as.
( = constante ) geodetische lijnen bestaan. We zouden kunnen denken dat ze "meridiaanlijnen" van het oppervlak zijn en dat de vergelijking z ( ) van een dergelijke meridiaan kan worden opgebouwd zoals we aan het begin van het artikel deden. Langs ( = constante ) geodetische lijnen :
(135)
Als dit oppervlak in R3 kan worden ingebed, langs deze geodetische lijnen :
(136)
wat geeft :
(137)
Conclusie : dit oppervlak kan niet in R3 worden ingebed.
Deze metriek (135) roept een afstotende werking op.
Alle oppervlakken, zoals gedefinieerd door hun metriek, kunnen niet. Hoe dan ook, deze oppervlakken "bestaan", ook al kunnen we ze niet in handen krijgen.
Beschouw het volgende 3d-hypersurface, zoals gedefinieerd door :
(138)
met Rs > 0 en r > 0
is gedefinieerd op R modulo 2
We kunnen een dergelijk hypersurface niet inbedden. Maar het bestaat en heeft "vlakke geodetische lijnen" ( 
= /2).
We kunnen het geodetische systeem van deze 2d- en 3d-hypersurfaces berekenen. We kunnen ze in een vlak (r,) visualiseren. Ze zijn reëel.
(139)
Hun ontwerp is identiek aan dat van het vorige oppervlak, zoals gedefinieerd door zijn lijnelement (134). Deze twee geometrische objecten zijn enkelvoudig samenhangend.
Fig.25
: Geodetische lijnen die corresponderen
met lijnelementen (134)
en (138)
(Merk op dat dit lijkt op een afstotende werking).
Er is iets verwarrend. Gegeven een lijnelement, kunnen we het geodetische systeem berekenen. Bijvoorbeeld, hetgeen van de klassieke representatie van de Schwarzschild-geometrie correspondeert met :
(140)
We kunnen de curves r () berekenen die corresponderen met deze differentiaalvergelijking.
Ze zijn reëel, inclusief voor r < Rs waarden !
Fig.26 :
Volledige geodetische lijn, corresponderend
met het Schwarzschild-lijnelement.
We begrijpen waarom fysici verward waren, na het zien van dit vreemde resultaat. Maar er is een wiskundig feit : een lijnelement kan een reëel geodetisch systeem produceren, waarvan sommige delen corresponderen met een imaginair lengte-element ds.
Wat betreft de fysica ? We identificeren ds als een increment van de eigentijd. Boven hebben we besloten om te overwegen dat een imaginair ds niet correspondeert met een fysiek pad, wat ons dwong om de "lokale topologie" van het hypersurface te heroverwegen, waarbij we de "lokale sferoïdale topologie" veranderden in een "lokale hypertoroidale topologie".
In vorige werken hield men deze "lokale sferoïdale topologie" hypothese aan, zodat de fysieke interpretatie van de "binnenkant" van de Schwarzschild-sfeer problematisch werd. In referentie [1], in sectie 6.8 lezen we :
(Binnen de Schwarzschild-sfeer) het zou dus natuurlijk lijken om r te herinterpreteren als een tijdmarker en t als een radiale marker (...)
... dat zou impliceren dat ds2 < 0 langs deze wereldlijn.
- De Kruskal analytische extensie.
In het klassieke [x� , r , , ] coördinatenstelsel is de radiale snelheid van het licht :
(141)
zodat deze naar nul gaat als r naar Rs gaat. Het argument van Kruskal is als volgt ( referentie [1], sectie 6.8 ).
Dit is een ongewenste eigenschap van de Schwarzchild-coördinaten die we kunnen elimineren als volgt; we zoeken een transformatie voor r en t naar nieuwe variabelen u en v waarin het lijnelement de vorm heeft :
(6.187)
... we komen tot een transformatie die geschikt is voor het binnenste van de Schwarzschild-straal :
(6.204)
Terwijl, buiten die sfeer :
(6.201)
*
*
De basisvereiste is dat f regular is op de Schwarzschild-sfeer r = Rs. Nog steeds uit [1] :
Zo dient u als globale radiale marker, en v dient als globale tijdmarker.
Trouwens, uit (6.187) , geven null-geodetische lijnen (ds = 0) een "constante lichtsnelheid" :
(142)
Uit (6.201) zien we dat als r naar oneindig gaat, f naar nul gaat, zodat Adler, Schiffer en Bazin zeggen [1] :
Ze corresponderen echter niet met sferische coördinaten voor vlakke ruimte op asymptotische afstand, zoals de Schwarzschild-coördinaten doen.
De Kruskal-metriek is ook een niet-singuliere oplossing van de Einstein-vergelijking in deze gebieden en is equivalent aan de Schwarzschild-oplossing, maar heeft geen singulariteit aan de grens (de Schwarzschild-sfeer). Dit is een analytische extensie van de manifold.
Kruskal concentreert zich op het probleem aan deze grens, die niet-singulier wordt, waarbij de singulariteit geconcentreerd is op het "geometrische centrum" waar f naar oneindig gaat. Nog steeds gebruikmakend van referentie [1] reproduceren we het passage gewijd aan de radiale paden van invallende fotonen :
In termen van u , v is het traject eenvoudig; in termen van r en t , echter, zien we dat het begint bij een eindige r > Rs en eindige x� , naar binnen reist richting r = Rs als x� naar oneindig gaat, en de lijn x� = oneindig kruist naar het binnenste van de Schwarzschild-sfeer. Daarna r blijft afnemen langs het traject, maar x� neemt af. ... Deze behandeling verduidelijkt ook dat x� geen redelijke tijdmarker is binnen de Schwarzschild-sfeer.
We zien dat "niets perfect is". Met zijn eigen keuze van coördinaten, beheert Kruskal het kruisen van de Schwarschild-sfeer, waarbij het singuliere kenmerk van de geometrische oplossing wordt beperkt tot een "centrale singulariteit". Maar de metriek is niet langer Lorentzian op oneindig.
Dit toont hoe de keuze van coördinaten de interpretatie van de oplossing modificeert. De onze introduceert een verandering in de "lokale topologie" (hypertoroidale brug ), maar alle singulariteit wordt geëlimineerd.
22)Terug naar inbedding.
De Wiener-Graustein stelling zegt dat elk n-dimensionaal oppervlak, met n > 2, kan worden ingebed in een ruimte wiens minimale dimensie is
(143)
Voor 4d-hypersurfaces correspondeert dit met een 10-dimensionale ruimte. We weten dat de geodetische lijnen van de Schwarzschild-geometrie in vlakken liggen. = p/2 correspondeert met een van deze. Dan kunnen we concentreren op een subset van ( = p/2) geodetische lijnen. Deze geodetische lijnen hangen af van twee parameters l en h . We weten dat ( l =1 ) geodetische lijnen corresponderen met deeltjes wiens snelheid nul is op oneindig.. In addition, choose the subset of ( = constante ) geodetische lijnen. Dan :
(144)
Introduceer een extra coördinaat z en schrijf :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Een differentiaalvergelijking wiens oplossing is :
(147)
We kunnen deze geodetische lijnen visualiseren in een 3d [ z , r ,] ruimte. Ze zijn meridiaanlijnen van een asymmetrisch oppervlak.
Fig. 27 : De meridiaan van het oppervlak waarin een isometrische inbedding****van de ( = constante) Schwarzschild-geodetische lijnen wordt uitgevoerd.
In 3d-ruimte, lijkt dit oppervlak als figuur 28 (een halve snede).
Fig.28 : Het inbeddingsoppervlak.
Als we de "radiale" geodetische lijnen erop tekenen, krijgen we figuur 29.
Fig.29 : Representatie van "radiale" geodetische lijnen. Onderkant : hun projectie op een [ r ,] vlak.
Het is een zeer partiale inbedding, want het is beperkt tot de set van "radiale" geodetische lijnen. Figuur 29 roept een plooi op en suggereert enantiomorfie. In effect, beschouw een set van drie punten die radiale geodetische lijnen volgen. We krijgen
Fig.30-a : Drie massapunten, vallend richting de keel langs "radiale" paden.
en :
**Fig.30-b : Hetzelfde, na het kruisen van de keel.
De driehoek is omgekeerd.**
Op de vlakprojectie [ r ,] is de oriëntatie van de driehoek omgekeerd.
Stel je nu vier testdeeltjes voor die radiale trajecten volgen, vallend richting de Schwarzschild-sfeer, vormend een tetraëder. Zie figuur 31.
Fig.31 : Vier deeltjes vallend op de Schwarzshild-sfeer langs "radiale"
geodetische lijnen in een euklidische 3d representatieruimte.
Fig.32 : Na het "stuiteren" op de Schwarzschild-sfeer reizen de deeltjes in de tweelingruimte. De tetraëder is omgekeerd (enantiomorfie)
Laten we terugkeren naar de vorige representatie. De normale vector is ook omgekeerd :
Fig.33 : Een eigen = constante geodetische lijn in zijn representatie
In de set van (l = 1) geodetische lijnen, in een ( r ,, z ) ruimte.