Omkeer van de bol en immersie van de Klein-fles

Het omkeren van de bol

7 december 2004

pagina 1

Inleiding.

In hetgeen hieronder zal worden behandeld, zullen gesloten oppervlakken worden overwogen, zoals de bol, de torus en enkele andere. Dit zijn oppervlakken in de zin van de gewone man, dat wil zeggen objecten met twee dimensies die worden weergegeven in een driedimensionale euclidische ruimte, R3, die onze mentale representatiemogelijkheid is. Deze oppervlakken kunnen op verschillende manieren worden voorgesteld. Als ze zichzelf niet doorsnijden, zullen we zeggen dat ze geïmmergeerd zijn (in R3). Als ze zich wel doorsnijden, spreken we dan van een immersie, en deze doorsnijding zal dan worden weergegeven door een zelfdoorsnijdingsverzameling (self-intersection).

Bij onze geïmmergeerde oppervlakken veronderstellen we dat het raakvlak continu varieert en dat het oppervlak geen singulariteiten kent, zoals bijvoorbeeld de top van een kegel. Onze oppervlakken zullen regulier zijn.

Bij immersies verlangen we dat langs de lijnen van zelfdoorsnijding de twee raakvlakken van de elkaar kruisende bladen verschillend zijn.

De wereld van de meetkunde, zoals de wiskundige die beeldt, verschilt aanzienlijk van de fysieke wereld. Het feit dat oppervlakken zichzelf kunnen doorsnijden, stelt hem niet in de steek. De fysieke wereld laat dit soort dingen niet toe. Maar het wordt mogelijk in de metafysische wereld. Zo staat er in de Bijbel dat wanneer de doden zullen opstaan, zij zullen opkomen in een "glorieuze lichaam". Zij zullen dan door alles heen kunnen gaan en in principe zelfs zichzelf kunnen doorsnijden. Dus wanneer de tijd van het eindoordeel zal zijn gekomen, en je wandelt in Rome in de vorm van een glorieuze lichaam, en je bent verdwaald en zoekt de Piazza Navona, dan zou je de weg kunnen vragen aan een ander opgestaan mens, die er precies zo uitziet als jij. Stel dat de persoon die je aanspreekt in de tegenovergestelde richting loopt ten opzichte van die plek. In de gewone fysieke ruimte zou hij zichzelf moeten omdraaien om met zijn vinger in die richting te wijzen. Maar als hij in de vorm van een glorieuze lichaam wandelt, is die draaiing niet meer nodig. Hij kan zijn vinger op zijn navel wijzen en zichzelf doorsnijden. Wanneer zijn hand weer uit zijn rug komt, hoeft hij alleen nog maar te zeggen: "Daarheen". Door zijn arm door zijn buik te steken, heeft hij in zijn lichaam een zelfdoorsnijdingsverzameling gecreëerd bestaande uit twee cirkels, die verdwijnen wanneer hij zijn normale vorm terugkrijgt.

Als een mens de mond sluit, een wasknijper op zijn neus legt om die te dichten en we de andere natuurlijke openingen buiten beschouwing laten, dan heeft zijn lichaamshuid dan de topologie van de bol S2. Stel je een opgestaan wezen voor in de vorm van een glorieuze lichaam, waarbij de natuurlijke openingen zijn afgesloten. We weten dat het zichzelf kan doorsnijden, dat wil zeggen dat zijn lichaamshuid van een geïmmergeerde situatie naar een immersie situatie kan gaan. Een van de metafysische problemen die zich toen stelden, was of een opgestaan mens in de vorm van een glorieuze lichaam zichzelf kon omdraaien zonder plooien te maken.

Een klein opmerking terloops. Prestidigitatoren weten "magische cirkels" te gebruiken die op "magische wijze" door elkaar heen kunnen gaan. Men zou kunnen denken aan het voorstellen van oppervlakken met een soort "magisch gaas", zodat de twee bladen, hier een in zwart en het andere in roze, zonder moeite door elkaar heen kunnen gaan.

Het magische gaas

In elk geval moet men erkennen dat er vaak niet veel verschil is tussen wiskunde en magie. Ik heb twintig jaar geleden een strip gemaakt: de Topologicon. Die is nu uitverkocht en niet meer te vinden, behalve als verzamelobject. Op één van de pagina’s stond dit:

Het is jammer dat de uitgeverij Belin besloot deze collectie op te geven. Men moet erkennen dat met een productiekost van maar iets meer dan één euro, de albums te verkopen voor 13 euro (plus verzending), via postorder, en dat het een winstmarge van 12 euro oplevert, dus een winst van meer dan 92 procent van de verkoopprijs, niet echt een duidelijke commerciële strategie is, vooral voor zwart-wit.

Beschouw een bol S2 geïmmergeerd in R3. We veronderstellen dat zijn buitenoppervlak grijs is en dat zijn binnenkant een oude roze kleur heeft. We kunnen op twee antipodale punten, die we arbitrair "noordpool" en "zuidpool" noemen, druk uitoefenen totdat ze in contact komen in één punt. Dat kan men bijvoorbeeld doen met een gebakje. Als het om een wiskundig gebakje gaat (we weten niet of gebakjes opstaan of niet in de vorm van een glorieuze lichaam), kunnen de twee poolregio’s, nadat ze in één punt in contact zijn gekomen, zichzelf op een kromme van zelfdoorsnijding doorsnijden die de vorm heeft van een cirkel. Vooruitlopend op hetgeen komt, zullen we zeggen dat dit oppervlak een catastrofe van het type Do heeft ondergaan.

Men zou dan kunnen proberen het gebakje, de bol, om te keren door de operatie voort te zetten. Maar dan ontstaat er een plooie, die uiteindelijk uitgroeit tot een lelijke plooi, of nauwkeuriger gezegd, een terugkeeroppervlak (figuur d).

Aan het einde van de jaren vijftig was de ernstige vraag of men metafysische gebakjes kon omdraaien zonder plooien nog steeds onopgelost. In feite dacht iedereen dat het strikt onmogelijk was. Maar in 1957 bewees een wiskundige, Stephen Smale (die de Fields-medaille ontving, maar voor een heel ander werk), dat de verschillende immersies van de bol S2 in R3 een enkele verzameling vormen en dat het altijd mogelijk is een reeks continue vervormingen van immersies (ook wel reguliere homotopie genoemd) te vinden die van de ene situatie naar de andere kunnen gaan. Het gevolg was dat men via een continue reeks immersies van de standaardplonging van de bol S2 naar de antipodale plonging kon gaan. In eenvoudigere termen: men kon een bol omdraaien zonder plooien, mits men het haar toestond zichzelf om te keren.

Smale’s promotor heette Raoul Bott. Die vroeg aan zijn leerling hoe men dat moest aanpakken, en Smale antwoordde dat hij er geen idee van had, maar dat zijn stelling volkomen onaanvalbaar was. Smale zag helemaal niet in de ruimte, maar dat kon hem niets schelen (zoals vaak bij meetkundigen het geval is). En, als we eerlijk zijn, na het bewijzen van zijn stelling, maakte hij zich volkomen niets van de manier waarop men het kon realiseren, en haastte hij zich om zich aan een ander onderwerp te wijden, waardoor hij zijn collega-wiskundigen in grote verwarring liet achter. Ik vind dat niet erg aardig om zulke problemen te creëren en dan mensen 10 jaar later te laten zoeken naar een oplossing.

Men moet erkennen dat het vrij moeilijk is om immersies in het hoofd te kunnen voorstellen. Toch kennen we oppervlakken die in R3 alleen op deze manier kunnen worden voorgesteld. De Klein-fles, bijvoorbeeld.

Klein-fles

Hier is deze weergegeven met een raster-coördinatenstelsel bestaande uit twee verzamelingen gesloten krommen, zoals bij de torus. Zo kan men een Klein-fles rastervormig maken zonder raster-singulariteiten te creëren. Maar zoals men kan zien, moet dit oppervlak zichzelf noodzakelijkerwijs langs een gesloten kromme, een cirkel, doorsnijden. Men kan dus een Klein-fles niet in R3 plongeren. Ik heb het geprobeerd, het lukt niet. Men kan het alleen maar immerseren. Dankzij mijn tekenvaardigheid komt u er redelijk mee uit. Maar toen het ging om het omkeren van een bol, moesten veel complexere configuraties worden overwogen. De manier om ze te vertegenwoordigen was niet de meest handige. Sommigen gebruikten klei. Als men hen zag praten op conferenties, gingen ze meestal opzij en openden hun collega’s voor een schoenendoos of een hoedendoos, gevuld met meer of minder monstrueuze objecten. Het bovenstaande plaatje doet denken aan de meest handige manier om deze objecten te bouwen en te manipuleren: met wat men een "koperdraad" noemt, een legering die zacht genoeg is om gemakkelijk te buigen, maar toch elastisch blijft. De beste manier is dan om de snijpunten van de lijnen te materialiseren (wij raden staven van 2 mm diameter aan), vast te maken met draadbinders. Het voordeel is dat men ze kan schuiven, tenminste tot men denkt dat het object een definitieve vorm heeft gekregen. Dan kan men elk schuiven verwijderen met een druppel lijm.

In de praktijk is het vrij zeldzaam dat men gebruik moet maken van Klein-flessen. Hieronder een foto van een Klein-fles die ik voor mijn persoonlijke gebruik gebruik.

Deze objecten, mits men een beetje oog voor vorm heeft, zijn vrij mooi. Ik heb er een aantal laten maken toen ik docent beeldhouwkunst was aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Maar voordat ik deze techniek overnam, waren er veel pogingen waarbij we zacht koperdraad en karton mengden, wat resultaten opleverde met een esthetiek die men niet kon aanbevelen. Ik herinner me dat ik een keer de trein van Marseille moest nemen om in Parijs een aantal oppervlakken te brengen die ik had kunnen voorstellen op een overtuigende manier, voor mijn verloren vriend, de wiskundige André Lichnérowicz. In het bijzonder was er het Boy-oppervlak waarop ik een kaartprojectie had aangebracht die zich concentreerde rond één pool. Het eindresultaat was een absoluut prachtig object, dat twintig jaar lang in de zaal pi van het Palais de la Découverte in Parijs tentoongesteld werd. Maar een jaar geleden oordeed het museum dat dit oppervlak uit de mode was, en het ligt nu in een berging of kelder. Ik hoop dat het niet is verpletterd tijdens het transport. Alles om te zeggen dat u nu nergens een Boy-oppervlak meer ziet, behalve in boeken of op een CD-ROM waarop ik mijn 18 wetenschappelijke strips in pdf-formaat heb opgenomen, waaronder de Topologicon. Hoe deze CD-ROM te verkrijgen.

Maar laten we terugkeren naar de reis die ik ondernam, van Marseille naar Parijs. Ik was al belast met twee koffers en ik had besloten drie modellen mee te nemen. De enige oplossing was om ze om mijn hals te hangen. Maar toen ik de hal van het station overstak en zag hoe mensen me aankeken, begreep ik dat ze dachten te maken te hebben met een gek die uit zijn inrichting een bezoekvergunning had gekregen. Het was volkomen zinloos om te proberen het tegen te zeggen, en ik moest dit martelende geval met alle mogelijke waardigheid ondergaan.

Wat grappig is, is dat mensen die z