Keren van de bol en de immersie van de Klein-fles

Het Keren van de Bol

7 december 2004

pagina 1

Inleiding.

We zullen in het vervolg praten over gesloten oppervlakken, zoals de bol, de torus en enkele andere. Dit zijn oppervlakken in de zin van de gewone man, dus objecten met twee dimensies die worden weergegeven in een driedimensionale euclidische ruimte, R3, die onze mentale representatiemogelijkheid is. Deze oppervlakken kunnen op verschillende manieren worden weergegeven. Als ze zichzelf niet doorsnijden, zeggen we dat ze geïmmergeerd zijn (in R3). Als ze zich wel doorsnijden, spreken we van een immersie en deze doorsnijding komt dan tot uitdrukking in een zelfdoorsnijdingsverzameling (self-intersection).

Bij onze geïmmergeerde oppervlakken nemen we aan dat het raakvlak continu varieert en dat het oppervlak geen singulariteiten kent, zoals bijvoorbeeld de top van een kegel. Onze oppervlakken zijn dus regulier.

Bij immersies eisen we dat langs de lijnen van zelfdoorsnijding de twee raakvlakken van de elkaar kruisende bladen verschillend zijn.

De wereld van de meetkunde, zoals die door de wiskundige wordt geconstrueerd, verschilt sterk van de fysieke wereld. Het feit dat oppervlakken zichzelf kunnen doorsnijden, stelt de wiskundige niet in de war. De fysieke wereld laat zoiets niet toe. Maar in de metafysische wereld is het mogelijk. Zo lezen we in de Bijbel dat wanneer de doden opstaan, zij zullen opkomen in een "glorieuze lichaam". Zij zullen dan door alles heen kunnen gaan en in principe zelfs door zichzelf kunnen gaan. Dus, wanneer de dag van het laatste oordeel zal zijn gekomen, en jij in een glorieuze vorm door Rome wandelt, verdwaald bent en de Piazza Navona zoekt, zou je de weg kunnen vragen aan een andere opgestane mens, die er precies zo uitziet als jij. Stel dat de persoon die je aanspreekt in de tegenovergestelde richting gaat dan de plek waar je naar op zoek bent. In de gewone fysieke ruimte zou hij zich moeten omkeren om met zijn vinger in die richting te wijzen. Maar als hij in een glorieuze vorm reist, is die draaiing niet meer nodig. Hij kan zijn vinger op zijn navel wijzen en zichzelf doorsnijden. Als zijn hand weer uit zijn rug komt, hoeft hij alleen nog maar te zeggen: "Daarheen". Door zijn arm door zijn buik te steken, heeft hij in zijn lichaam een zelfdoorsnijdingsverzameling gecreëerd bestaande uit twee cirkels, die verdwijnen wanneer hij zijn normale vorm herwint.

Als een mens zijn mond sluit, een wasknijper op zijn neus zet om die te dichten en we afzien van zijn andere natuurlijke openingen, dan heeft zijn lichaamshuid de topologie van de bol S2. Stel je een opgestane wezen voor in de vorm van een glorieuze lichaam, waarbij al die natuurlijke openingen zijn afgesloten. We weten dat het zichzelf kan doorsnijden, dus zijn lichaamshuid kan van een geïmmergeerde situatie naar een geïmmergeerde situatie gaan. Een van de metafysische problemen die zich toen stelden, was of een opgestane man in glorieuze vorm zichzelf kon omdraaien zonder plooien te maken.

Een kleine opmerking terzijde. Prestidigitatoren weten "magische cirkels" te gebruiken die op een "magische manier" door elkaar kunnen gaan. Men zou kunnen denken aan het weergeven van oppervlakken met een soort "magisch gaas", zodat de twee bladen, hier respectievelijk zwart en roze weergegeven, zonder moeite door elkaar kunnen gaan.

Het magische gaas

In ieder geval moet men erkennen dat er vaak niet veel verschil is tussen wiskunde en magie. Ik ontwikkelde twintig jaar geleden een stripreeks: de Topologicon. Die is nu uitverkocht en nergens meer te vinden, behalve als verzamelobject. Op een van de pagina’s stond dit:

Het is jammer dat de uitgeverij Belin besloot deze collectie op te geven. Men moet wel zeggen dat met een productiekost van maar iets meer dan één euro, de albums te verkopen voor 13 euro (plus verzending), via postorder, en dat de winstmarge 12 euro bedroeg, dus een winst van meer dan 92 procent van de verkoopprijs, niet echt een duidelijke commerciële strategie was, vooral niet voor zwart-wit.

Beschouw een bol S2 die geïmmergeerd is in R3. We nemen aan dat de buitenkant grijs is en de binnenkant een oude roze kleur heeft. We kunnen op twee antipodale punten drukken, die we willekeurig "noordpool" en "zuidpool" noemen, totdat ze in contact komen op één punt. Dat kan men bijvoorbeeld doen met een gebakje. Als het gaat om een wiskundig gebakje (we weten niet of gebakjes opstaan of niet in glorieuze vorm), kunnen de twee poolgebieden, nadat ze in contact zijn gekomen op één punt, zichzelf doorsnijden volgens een zelfdoorsnijdingscurve die de vorm heeft van een cirkel. Vooruitlopend zeggen we dat dit oppervlak een catastrofe van het type Do heeft ondergaan.

Men zou dan kunnen proberen het gebakje, de bol, verder om te draaien, door de operatie voort te zetten. Maar dan ontstaat er een plooie, die uitgroeit tot een lelijke vouw, of nauwkeuriger gezegd een terugkeeroppervlak (figuur d).

Aan het einde van de jaren vijftig was de belangrijke vraag of men metafysische gebakjes kon omdraaien zonder vouwen, nog onopgelost. In feite dacht iedereen dat het strikt onmogelijk was. Maar in 1957 bewees een wiskundige, Stephen Smale (die de Fields-medaille kreeg, maar voor een heel ander werk), dat alle immersies van de bol S2 in R3 een enkele verzameling vormen en dat men altijd een reeks continue vervormingen van immersies (ook wel reguliere homotopie genoemd) kan vinden die van de ene situatie naar de andere kunnen gaan. Het gevolg was dat men via een continue reeks immersies van de standaardplonging van de bol S2 naar de antipodale plonging kon gaan. In eenvoudigere termen: men kon een bol omdraaien zonder vouwen, mits men het toestond dat de bol zichzelf kon omdraaien.

Smale’s promotor heette Raoul Bott. Die vroeg aan zijn leerling hoe men dat moest aanpakken, en Smale antwoordde dat hij er geen idee van had, maar dat zijn stelling volkomen onaanvalbaar was. Smale zag helemaal niet in de ruimte, maar dat kon hem niets schelen (zoals vaak bij meetkundigen het geval is). En, als we eerlijk zijn, na het bewijzen van zijn stelling maakte hij zich geen zorgen meer over hoe men het kon realiseren en haastte zich naar een ander onderwerp, laat hij zijn collega-wiskundigen in grote verwarring achter. Ik vind het niet erg leuk om zoiets te doen, problemen te creëren en mensen dan tien jaar later zelf de oplossing te laten vinden.

Men moet erkennen dat het vrij moeilijk is om immersies in het hoofd te kunnen voorstellen. Toch kennen we oppervlakken die alleen op deze manier in R3 kunnen worden weergegeven. De Klein-fles bijvoorbeeld.

Klein-fles

Hier is ze weergegeven met een raster-coördinatenstelsel bestaande uit twee verzamelingen gesloten krommen, zoals bij de torus. Zo kan men een Klein-fles rastervormig maken zonder raster-singulariteiten te veroorzaken. Maar zoals te zien is, moet dit oppervlak zichzelf noodzakelijkerwijs langs een gesloten kromme, een cirkel, doorsnijden. Men kan een Klein-fles dus niet in R3 plongeren. Ik heb het geprobeerd, het lukt niet. Men kan het alleen maar immerseren. Dankzij mijn tekenvaardigheid kom je er redelijk mee uit. Maar bij het omdraaien van een bol moest men veel ingewikkelder configuraties overwegen. De manier om ze te weergeven was niet de meest handige. Sommigen gebruikten klei. Als je hen zag praten op conferenties, gingen ze meestal opzij en openden voor hun collega’s dozen of hoedenkasten met meer of minder monsterlijke objecten. Het bovenstaande tekening geeft de meest handige manier om deze objecten te bouwen en te manipuleren: met wat men noemt "koperdraad", een legering die voldoende flexibel is om gemakkelijk te buigen, maar toch zijn elasticiteit behoudt. De beste manier is dan om de kruispunten van de lijnen (wij raden stangen van 2 mm diameter aan) vast te maken met draadbinders. Het voordeel is dat ze kunnen glijden, tenminste tot men denkt dat het object een definitieve vorm heeft gekregen. Dan kan men het glijden met een druppel lijm stoppen.

In de praktijk komt men zelden een Klein-fles tegen. Hieronder een foto van een Klein-fles die ik voor mijn eigen gebruik gebruik.

Deze objecten zijn, als men een beetje oog voor vorm heeft, best mooi. Ik heb er een aantal laten maken toen ik docent beeldhouwkunst was aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Maar voordat ik deze techniek overnam, waren er veel tastende pogingen waarbij we zacht koperdraad en karton mengden, wat resultaten opleverde met een esthetiek die men moeilijk kon verdedigen. Ik herinner me dat ik eens een trein van Marseille naar Parijs moest nemen om een aantal oppervlakken te brengen voor mijn verdienstelijke vriend, de wiskundige André Lichnérowicz, die ik zeer betreur. Er was met name de Boy-oppervlak, waarop ik een kaart op basis van één pool had geplakt. Het eindresultaat was een absoluut prachtig object, dat twintig jaar lang tentoongesteld werd in de zaal pi van het Palais de la Découverte in Parijs. Maar een jaar geleden oordeelde het museum dat dit oppervlak uit de mode was en het ligt nu in een bergkamer of kelder. Ik hoop dat het niet is verpletterd tijdens het vervoer. Alles om te zeggen dat je nu nergens meer een Boy-oppervlak kunt zien, behalve in boeken of op een CD-ROM waarop ik mijn 18 wetenschappelijke strips in pdf-formaat heb vastgelegd, waaronder de Topologicon. Hoe deze CD-ROM te verkrijgen.

Maar laten we teruggaan naar mijn reis van Marseille naar Parijs. Ik had al twee koffers bij me en had besloten drie modellen mee te nemen. De enige oplossing was ze om mijn hals te hangen. Maar toen ik de hal van het station doorkruiste en zag hoe mensen me aankeken, begreep ik dat ze dachten te maken te hebben met een gek die uit zijn inrichting was gekomen. Het zou zinloos zijn geweest om te proberen het tegen te zeggen, en ik moest dit martelende geval met alle mogelijke waardigheid ondergaan.

Wat grappig is, is dat mensen die dergelijke dingen bouwen vrij zeldzaam zijn. Er was in Amerika een wiskundige genaamd Charles Pugh, die werkte aan het departement wiskunde van de universiteit van Berkeley. Ik zal er later nog over spreken. Pugh was absoluut fantastisch met gaas voor kippen, maar persoonlijk heb ik altijd de techniek van het koperdraad verkozen.

Laten we terugkeren naar het probleem van het omdraaien van een bol. De eerste die het probleem oploste, was de meetkundige Anthony Phillips. Hij publiceerde zijn werk, dat wil zeggen een reeks tekeningen, in een nummer van Scientific American in 1967. Er zijn meerdere manieren om een bol om te draaien. Een van hen bestaat erin elk punt van de bol in overeenkomst te brengen met zijn antipode. Dan krijgt het de vorm van een Boy-oppervlak. Ik heb altijd gedroomd van een sponsor te vinden om een prachtige sculptuur te bouwen die een aardbol weergeeft die is ingevouwen tot een Boy-oppervlak. Omdat ik het object niet kon bouwen, heb ik het gebruikt als omslagillustratie van de Topologicon:

De aardbol die zichzelf op een Boy-oppervlak herkent

In een dergelijke configuratie, als je een gat in de noordpool graaft, kom je direct aan de andere kant uit, in de zuidpool, omdat deze twee punten antipodisch zijn. Een Fransman die een gat in zijn kelder graaft, zou in Nieuw-Zeeland belanden, enzovoort.

De oplossing van Anthony Phillips bestaat er inderdaad in de manier te beschrijven waarop de bol zich vormt tot een dubbelbladige dekking van het Boy-oppervlak, dat natuurlijk een eenzijdig oppervlak is. Als we een magisch product hadden, de doorgang, dat oppervlakken het vermogen gaf zichzelf te doorsnijden, zou het volstaan om elk punt met zijn antipode te verbinden met een draad, die we dan inkrimpen tot lengte nul. Als we deze transformatie niet gemakkelijk kunnen weergeven, kunnen we ons toch richten op een deel van de bol, bijvoorbeeld zijn equatoriale omgeving. Dat is wat is gedaan in de volgende animaties. Dit oppervlak, met twee cirkelvormige randen, lijkt op een fietswiel. We hebben drie stralen getekend, verbonden met punten die diametraal tegenover elkaar liggen. Door de lengte van deze stralen naar nul te laten gaan, zal deze tweezijdige strook zich vormen tot een dubbelbladige dekking van een Möbiusband met drie halve omwentelingen. Hieronder twee vrij grove animaties. Die links is traag, die rechts snel.

De Möbiusband met drie halve omwentelingen is de "equatoriale omgeving" van het Boy-oppervlak. Op deze strook wikkelde zich de equator van de bol.

"De equator" van het Boy-oppervlak

Wat de twee polen van de bol betreft, komen die samen op de enige pool van het oppervlak. Dit oppervlak, net als de Klein-fles, kan niet in R3 worden geïmmergeerd. Het kan alleen worden weergegeven als een immersie. Dan heeft het een zelfdoorsnijdingsverzameling die de vorm heeft van een drie-paalige schroef, waarvan de uiteinden zichtbaar zijn en lijken op de "trommels" van drie "oren". In de volgende platen vind je enkele elementen om dit oppervlak beter te "lezen". Bij problemen, zoek een Topologicon.

Boven links een Boy-oppervlak. Omdat dit oppervlak eenzijdig is, kunnen we geen twee kleuren gebruiken. In b' is de zelfdoorsnijdingsverzameling, driebladig, die de pennen van een schroef doet denken in b". De kromme snijdt zichzelf in een drievoudig punt T. De volgende tekeningen zijn bedoeld om de lezer te helpen zich te oriënteren.

Alles is goed om de structuur van een oppervlak te illustreren: lintjes, een montage met losse stukken. Men ziet dat een beeldhouwer zich hierin zal kunnen uitleven. Een woordje over de geschiedenis. In 1901 noemde een student van de grote Duitse wiskundige Hilbert, Werner Boy, voor hem een oppervlak waarvan niemand eerder had gedacht. De vakantie was al bijna aangebroken. Hilbert zei tegen zijn student:

*- Dit probleem lijkt mij interessant. Als je wilt, kom je na de vakantie terug, dan bespreken we het. *

De vakantie ging voorbij, maar toen de school weer begon, kwam Boy niet terug. Na twee maanden probeerde Hilbert hem te vinden. Andere studenten gaven hem zijn adres, en hij ging erheen. Maar de huisbaas zei dat de jonge Werner Boy haar de sleutels had teruggegeven voordat de zomer begon en dat hij nooit meer was teruggekomen. Alle pogingen om hem te vinden, waren vergeefs, net als de pogingen om familieleden te vinden. Hij verdween letterlijk. Als je naar Duitsland gaat, hoop dan niet op zijn graf: het bestaat niet.

Op de laatste figuur, onderaan rechts, is het Boy-oppervlak zelf in wit getekend en de twee zijden van de bol die het bedekt, in grijze en roze kleuren. De punten A en A' zijn op deze bol antipodisch. Je begrijpt nu hoe deze dubbelbladige dekking van het Boy-oppervlak kan worden gebruikt om de bol om te draaien. Stel dat we de reeks transformaties, de reguliere homotopie, hadden die het mogelijk maakte om een bol met roze buitenkant en grijze binnenkant om te zetten in deze figuur onderaan rechts. Dan zou het voldoende zijn om de twee bladen te verwisselen (door ze zelf te laten doorsnijden), inclusief de punten A en A', en dezelfde transformaties in omgekeerde volgorde uit te voeren om uit te komen op de antipodale plonging van deze bol, die nu zijn grijze kleur aan de buitenkant heeft.

In dezelfde logica kunnen we verwachten dat een torus zich kan vormen tot een dubbelbladige dekking van een ... Klein-fles. Zo ziet die dekking eruit.

Dubbelbladige dekking van de Klein-fles

Als je een torus op deze manier kunt vormen, hoeft je alleen nog maar de aangrenzende bladen, aan beide kanten van de Klein-fles (hier niet weergegeven), te verwisselen, en de operaties in omgekeerde volgorde uit te voeren om uit te komen op de omgedraaide torus. Dit werk is gepubliceerd in het nummer van januari 1979 van Pour la Science in een artikel van B. Morin en J.P. Petit. Ik zorgde voor de illustraties, Morin voor de tekst. Hoewel hij veel mensen noemde in het artikel, liet hij mij onbedoeld weg, net zoals hij vergeten was te vermelden dat ik de uitvinder was van dit deel van het werk, dat op pagina's 46 en 47 staat. Maar dat gebeurt nu eenmaal als je nauw samenwerkt met een collega. Je weet hoe het is: je bent zo gewend aan zijn aanwezigheid, en zo bezorgd om niemand te vergeten, dat je uiteindelijk hem vergeten bent, alsof hij onderdeel van het meubilair was. Voor meer details is dit werk onder mijn naam gepubliceerd in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris op