Omkeer van de bol en permutatie van de cuspidale punten
De omkeer van de bol
8 december 2004
pagina 2
Permutatie van de cuspidale punten van een crosscap
Dit zal een klein tussenstuk zijn, in de toon van "waar kan de omkeer van de bol voor gebruikt worden?". Hier: om de twee cuspidale punten van een crosscap te verwisselen, wat a priori onmogelijk leek. Ik heb dit kleine trucje ongeveer een dozijn jaar geleden bedacht. Het is nooit gepubliceerd. Maar waar zou je zoiets publiceren? Dat is niet duidelijk. Het is geen "belangrijk resultaat in de wiskunde", maar het is toch een vrij aantrekkelijk oefentje. In het vervolg zullen we gebruik maken van veelvlakkenrepresentaties. Rechts de "ronde" crosscap en links een van haar mogelijke veelvlakkenrepresentaties.
De crosscap met een van haar veelvoudige veelvlakkenrepresentaties.
In de afbeelding rechts onderaan hebben we ervoor gezorgd dat de twee cuspidale punten C1 en C2, gelegen aan het einde van haar zelfintersectielijn, geplaatst zijn in een gebied dat we kunnen beschouwen als een stuk van een bol. We weten dat we een bol kunnen omkeren. Dus kunnen we dit object hetzelfde behandelen, zonder ons druk te maken over de verschillende stadia van deze transformatie. In veelvlakvorm betekent dit het omkeren van de kubus.
Wat we weten is dat aan het eind van de operatie twee soorten inkeeringsvormen zullen zijn ontstaan, zoals die zouden worden gezien door een waarnemer die zich "binnen" de oorspronkelijke crosscap bevindt (wat een onjuiste uitdrukking is, aangezien deze oppervlak éénzijdig is).
Na omkeer, van de kubus links, van de bol rechts
De veelvlakkenrepresentatie is toch behoorlijk handig om de stappen van deze operaties niet uit het oog te verliezen. Het enige wat overblijft, is om twee vingers in deze inkeeringsvormen te steken en alles naar buiten te trekken:
De cuspidale punt C2 naar buiten trekken
Als het je plezier geeft, kun je de veelvlakkenmodellen zelf met karton bouwen. Of misschien bouwt iemand moedig een VRML-versie om ze te kunnen manipuleren.
Het laatste wat overblijft, is de operatie af te ronden.
Overgang naar een immersie die identiek is aan de beginpositie, maar met verwisselde cuspidale punten.
Ik heb eens beloofd een dossier te maken over mijn ontmoetingen met de psychoanalyticus Jacques Lacan. De crosscap had hij gebruikt om het "fundamentele fantasie" te modelleren. Hij had zich gefocust op het "centrale cuspidale punt" en het tweede punt simpelweg genegeerd. In die centrale regio had Lacan het "taalkundige penis" of "klein a"-object geplaatst. Ik vertel je de rest een andere keer. Het feit blijft dat Lacan niet had voorzien dat deze punten "vader-gepermuteerde" konden worden. In feite, toen hij me over deze linguistisch-geometrisch-psychoanalytische modellering vertelde, fronste ik mijn wenkbrauwen, omdat ik me voorstelde dat de twee cuspidale punten in de crosscap verschillende rollen konden spelen. En in de seconde daarna, gewoon door de vraag te stellen, wist ik hoe ze te verwisselen. Lacan was behoorlijk verbaasd, ik herinner me dat. Zijn fundamentele fantasie had nu twee taalkundige penissen in plaats van één. Al zijn theorie was gebaseerd op dit object. Maar ik stelde onmiddellijk een alternatief voor door het taalkundige penis aan de pool (enige) van een Boyoppervlak te plaatsen. Zo kwam alles weer in evenwicht, tot grote tevredenheid van hem.
Dit gebeurde niet lang voor zijn dood. Zoals ik heb kunnen constateren, heeft deze psychoanalytisch-geometrische herstructurering blijkbaar nog niet de psychanalytische gemeenschap van Lacanians bereikt.
Terug naar Gids Terug naar de startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 7 december 2004: