Omkeer van de bol en permutatie van de cuspidale punten
De omkeer van de bol
8 december 2004
pagina 2
Permutatie van de cuspidale punten van een crosscap
Dit zal een klein tussenstuk zijn, in de toon van "waar kan de omkeer van de bol voor gebruikt worden?". Hier: om de twee cuspidale punten van een crosscap te verwisselen, wat a priori onmogelijk leek. Ik heb dit kleine trucje ongeveer een dozijn jaar geleden bedacht. Het is nooit gepubliceerd. Maar waar zou je zoiets publiceren? Dat is niet duidelijk. Het is geen "belangrijk wiskundig resultaat", maar het is toch een vrij aantrekkelijk oefentje. In het vervolg zullen we gebruik maken van veelvlakvoorstellingen. Rechts de "ronde" crosscap, links een van haar vele mogelijke veelvlakvoorstellingen.
De crosscap met een van haar vele veelvlakvoorstellingen.
In de afbeelding rechts onderin hebben we ervoor gezorgd dat de twee cuspidale punten C1 en C2, gelegen aan het einde van haar zelfintersectielijn, geplaatst zijn in een gebied dat we kunnen beschouwen als een stuk van een bol. We weten dat we een bol kunnen omkeren. Dus kunnen we dit object hetzelfde behandelen, zonder ons zorgen te maken over de verschillende stadia van deze transformatie. In veelvlakvorm betekent dit het omkeren van de kubus.
Wat we weten is dat aan het eind van de operatie twee soorten invaginaties zullen zijn ontstaan, zoals die zouden worden gezien door een waarnemer die zich "binnen" de oorspronkelijke crosscap bevindt (wat een onjuiste uitdrukking is, omdat deze oppervlak eenzijdig is).
Na omkeer, van de kubus links, van de bol rechts
De veelvlakvoorstelling is toch behoorlijk handig om de stappen van deze operaties niet uit het oog te verliezen. Het enige wat overblijft, is om twee vingers in deze invaginaties te steken en alles naar buiten te trekken:
Trek het cuspidale punt C2 "naar buiten"
Als je er zin in hebt, kun je de veelvlakmodellen zelf maken van karton. Of misschien bouwt een dapper iemand deze modellen in vrml, zodat we ze kunnen manipuleren.
Er blijft nog één stap over om de operatie af te ronden.
Overgang naar een immersie die identiek is aan de oorspronkelijke, maar met de cuspidale punten verwisseld.
Ik heb ooit beloofd een dossier te maken over mijn ontmoetingen met de psychiater Jacques Lacan. De crosscap had hij gebruikt om het "fundamentele fantasie" te modelleren. Hij had zich gericht op het "centrale cuspidale punt" en het tweede punt simpelweg genegeerd. In dat centrale gebied had Lacan het "taalkundige penis" of "klein a"-object geplaatst. Ik vertel je de rest een andere keer. Het feit blijft dat Lacan niet had voorzien dat deze punten "vader-gepermutatie" konden ondergaan. In feite, toen hij me over deze linguistisch-geometrisch-psychanalytische modellering vertelde, fronste ik mijn wenkbrauwen, omdat ik me voorstelde dat de twee cuspidale punten in de crosscap verschillende rollen konden spelen. En in de seconde daarna, gewoon door de vraag te stellen, wist ik hoe ze te verwisselen. Lacan was er behoorlijk van onder de indruk, ik herinner me dat. Zijn fundamentele fantasie had nu twee taalkundige penissen in plaats van één. Al zijn werk was rond dit object gebouwd. Maar ik stelde onmiddellijk een alternatief voor door het taalkundige penis aan het enige poolpunt van een Boy-oppervlak te plaatsen. Zo kwam alles weer in evenwicht, tot grote voldoening van hem.
Dit gebeurde niet lang voor zijn dood. Zoals ik heb kunnen vaststellen, heeft deze psychanalytisch-geometrische herstructurering blijkbaar nog niet doorgedrongen binnen de gemeenschap van Lacan-georiënteerde psychoanalytici.
Terug naar Gids Terug naar de startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 7 december 2004: