Het Omkeren van de Sfeer
Het Omkeren van de Sfeer
7 december 2004
pagina 3
De elementaire catastrofes.
We hebben al eerder gezegd dat de immersionen die we beschouwden zo waren dat de raakvlakken langs hun verzameling van zelfintersectie, indien die aanwezig was, bleven gescheiden. Het is dan mogelijk om van een immersion naar een andere te gaan met behulp van vier elementaire catastrofes. Morin gaf ze namen, die op de afbeeldingen hieronder staan. De eerste leidt tot het ontstaan van een gesloten kromme (en haar verdwijning, de omgekeerde bewerking). Dit gebeurt wanneer je je elleboog in het water van een wastafel dompelt om de temperatuur te bepalen (links). Figuur a4: de oppervlakken raken elkaar in één punt. In a5 is de zelfintersectiekromme ontstaan. In de rest van de tekst noemen we deze bewerking "de elleboogcatastrofe".
De "elleboogcatastrofe": ontstaan – verdwijning van een gesloten kromme
De tweede catastrofe is die van de "mandarijnplak":
De catastrofe van het ontstaan – verdwijnen van een "mandarijnplak".
Als je deze afbeeldingen goed bekijkt, zie je van links naar rechts dat een parabolisch cilinder zich naderd aan een hoekvlak. De verzameling van zelfintersectie bestaat uit twee afzonderlijke, paraboolvormige krommen, plus duidelijk de ribbe van het hoekvlak. In het middelste figuur raakt de ribbe van het hoekvlak een van de generatrices van de cilinder. Deze ribbe is in dat punt raaklijn aan de cilinder. De verzameling van zelfintersectie bestaat uit twee paraboolvormige krommen die elkaar raken in één punt, plus de ribbe van het hoekvlak. Rechts: de parabolische cilinder heeft zijn beweging voortgezet. De zelfintersectiekromme is veranderd. Die bestaat nu uit de ribbe van het hoekvlak, plus de paraboolvormige krommen die elkaar in twee punten snijden, beide gelegen op de ribbe van het hoekvlak. Je kunt het ook andersom bekijken: de parabolische cilinder blijft stilstaan en de twee "snijvlakken" bewegen. Het rechterfiguur doet dan denken aan twee houwen met een bijl of twee sneden met een zaag. Ook het houtsnippers is weergegeven. Morin vergelijkte het met een "mandarijnplak", een zeer treffende vergelijking.
De derde catastrofe is die van het "broekje".
De catastrofe van het "broekje"
De afbeeldingen zijn duidelijk genoeg. Van links naar rechts zie je een broek in het water zakken. Links gaat de vogel onder de broekspijpen door, maar de vis blijft gevangen in één van de pijpen. Rechts gaat de vis door, maar de weg die de vogel gebruikte is verdwenen. In het midden is de tussenliggende situatie. Belangrijk is de lokale verandering van de snijkromme, wat overeenkomt met wat men "chirurgie" noemt, een wijziging van de verbinding van boogjes. Probeer deze transformatie goed te begrijpen, want die blijkt de moeilijkste te zijn om uit te voeren en goed te zien in de homotopie van het omkeren van de sfeer. Houd goed in de gaten dat deze catastrofe tegelijkertijd een weg sluit en een andere opent in een richting loodrecht daarop.
De vierde en laatste catastrofe is die van de "omkering van een tetraëder":
De catastrofe die een tetraëder omkeert
De zelfintersectiekromme bestaat uit vier "lijnen", die de verlengde zijden van een tetraëder zijn. In de linkerfiguur is deze tetraëder afzonderlijk weergegeven, met zijn grijze vlakken naar buiten gericht. Rechts is het omgekeerd: de vlakken zijn roze. In het midden is de tussenliggende situatie: de tetraëder is tot een punt Q gereduceerd (viervoudig, omdat het het snijpunt is van vier bladen).
Met behulp van deze vier catastrofes gaan we een sfeer omkeren volgens een continue reeks transversale immersionen. Deze variant is van de wiskundige (blinde) Bernard Morin. Onze ontmoeting is het verhaal waard. Op een dag vroeg een technicus van de faculteit der letteren me om mijn tekenvaardigheid in te zetten voor een spreker die over meetkunde zou gaan praten. Ik kwam op dat afspraakje zonder enige argwaan. Ik was altijd goed in het zien van objecten in de ruimte, en wanneer onze hoogleraar in hogere wiskunde een probleem uit de meetkundige beschrijving aan ons gaf, tekende ik de snijlijn en gaf ik tegelijkertijd een perspectiefweergave, terwijl hij zijn opgave formuleerde. Maar dit keer ging het anders.
Ik had geen moeite met het tekenen van de bovenstaande figuren. Maar toen het ging om ze te integreren in een schema dat het omkeren van de sfeer omvatte, raakte ik volledig in de war, geconfronteerd met een hele verzameling bladen die zich achter elkaar bevonden. Geërgerd keerde ik terug naar die vreemde persoon, die, ondanks het gebrek aan zicht, zich veel beter voelde in dit uitbreiden van vormen. Ik volgde dan ook zijn lessen gedurende meerdere maanden. Het gesprek was behoorlijk gecompliceerd. Van zijn kant had hij alleen de woorden. Van mijn kant kon ik hem mijn tekeningen beschrijven of hem modellen geven die ik thuis had gemaakt, of later ter plekke. Het zou fabelachtig zijn geweest om deze gesprekken op te nemen, absoluut surrealistisch, van de volgende soort:
- Probeer je voor te stellen dat twee krommen samenkomen en een soort eierwalm vormen.
Ondanks de moeilijke persoonlijkheid van de man, bleven deze ontmoetingen onvergetelijk voor mij. Ik begon uiteindelijk gewoon twee aspirines te nemen voor onze werkafspraakjes, als preventie. Zijn karakter kan worden samengevat in de bijnaam waarmee zijn vrouw hem had genoemd: "Gezegende bliksem", een figuur uit de stripreeks van Hergé "Tintin in Tibet". Morins wrokken hadden een even legendarisch als onomkeerbaar karakter. Hij kon soms over bepaalde vijanden spreken, die al lang dood waren, en dan zeggen:
- Soms gooi ik ze een klein vloekje toe in het hiernamaals, denkend dat het hen geen kwaad doet, maar tenminste geen goed kan doen.
Terug naar Gids Terug naar de startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 8 december 2004: