Het Omkeren van de Sfeer
Het Omkeren van de Sfeer
7 december 2004
pagina 3
De elementaire catastrofes.
We hebben al eerder gezegd dat de immersies die we beschouwden zodanig waren dat de raakvlakken langs hun verzameling van zelfintersectie, indien die aanwezig was, altijd verschillend bleven. Het is dan mogelijk om van de ene immersive naar de andere te gaan via vier elementaire catastrofes. Morin gaf deze catastrofes namen, die op de onderstaande tekeningen staan. De eerste leidt tot het ontstaan van een gesloten kromme (en haar verdwijning, de omgekeerde bewerking). Dit gebeurt bijvoorbeeld wanneer je je elleboog in het water van een wastafel dompelt om de temperatuur te bepalen (links). Figuur a4: de oppervlakken raken elkaar in één punt. In a5 is de zelfintersectiekromme ontstaan. In de rest van de tekst zullen we deze bewerking "de elleboogcatastrofe" noemen.
De "elleboogcatastrofe": ontstaan en verdwijning van een gesloten kromme
De tweede catastrofe is die van de "mandarijnplak":
De catastrofe van het ontstaan en verdwijnen van een "mandarijnplak".
Als je deze afbeeldingen goed bekijkt, zie je van links naar rechts dat een parabolisch cilinder dichter bij een hoek komt. De zelfintersectie bestaat uit twee losse, paraboolvormige krommen, plus duidelijk de ribbe van de hoek. In het middelste plaatje raakt de ribbe van de hoek een van de generatrices van de cilinder. Deze ribbe is in dat punt raaklijn aan de cilinder. De zelfintersectie bestaat uit twee paraboolvormige krommen die elkaar raken in één punt, plus de ribbe van de hoek. Rechts: de parabolische cilinder heeft zijn beweging voortgezet. De zelfintersectiekromme is veranderd. Die bestaat nu uit de ribbe van de hoek, plus de paraboolvormige krommen die elkaar in twee punten snijden, die beide op de ribbe van de hoek liggen. Je kunt het ook omgekeerd zien: de parabolische cilinder blijft stil staan, en de twee "snijvlakken" bewegen. Het rechterplaatje doet denken aan twee houwen met een bijl, of twee sneden met een zaag. Ook het houtsnijdeel is afgebeeld. Morin vergelijkte het met een "mandarijnplak", een zeer treffende vergelijking.
De derde catastrofe is die van het "broekje".
De catastrofe van het "broekje"
De afbeeldingen zijn duidelijk genoeg. Van links naar rechts zie je een broek in het water zakken. Links gaat de vogel onder de broekspijpen door, maar de vis blijft gevangen in één van de pijpen. Rechts gaat de vis door, maar de opening die de vogel eerder gebruikte, is verdwenen. In het midden is de tussenstand. Belangrijk is de lokale verandering van de snijkromme, wat overeenkomt met wat men "chirurgie" noemt: een verandering van de verbinding tussen boogjes van krommen. Probeer deze transformatie goed te begrijpen, want deze zal de moeilijkste zijn om uit te voeren en goed te zien in de homotopie van het omkeren van de sfeer. Houd goed in de gaten dat deze catastrofe tegelijkertijd een opening sluit en een andere openstelt in de loodrechte richting.
De vierde en laatste catastrofe is die van de "omkering van een tetraëder":
De catastrofe die een tetraëder omkeert
De zelfintersectiekromme bestaat uit vier "lijnen", die de verlengde zijden van een tetraëder zijn. In het linkerplaatje is de tetraëder afzonderlijk afgebeeld, met de grijze zijden naar buiten gericht. Rechts is het omgekeerd: de zijden zijn roze. In het midden is de tussenstand: de tetraëder is samengekrompen tot één punt Q (viervoudig, omdat het het snijpunt is van vier bladen).
Met behulp van deze vier catastrofes gaan we een sfeer omkeren volgens een continue reeks transversale immersies. Deze variant is van de wiskundige (blinde) Bernard Morin. Onze ontmoeting is het vertellen waard. Op een dag vroeg een technicus van de faculteit der letteren me om mijn tekenvaardigheid in te zetten voor een spreker die over meetkunde zou gaan praten. Ik kwam zonder enige argwaan naar het afspraakje. Ik was altijd goed in het visualiseren van objecten in de ruimte, en wanneer onze hoogleraar in wiskunde ons een probleem uit de meetkundige beschrijving gaf, tekende ik de snijlijn en gaf ik tegelijkertijd een perspectieftekening, terwijl hij zijn opgave formuleerde. Maar deze keer ging het anders.
Ik had geen moeite met het tekenen van de bovenstaande figuren. Maar toen ik ze moest integreren in een schema dat het omkeren van de sfeer omvatte, raakte ik uiteindelijk volledig in de war, geconfronteerd met een hele verzameling bladen die zich achter elkaar bevonden. Geërgerd keerde ik terug naar die vreemde persoon, die, ondanks het gebrek aan zicht, zich veel beter voelde in dit uitgespreide vormen. Ik volgde zijn lessen gedurende meerdere maanden. Het gesprek was behoorlijk ingewikkeld. Van zijn kant had hij alleen de woorden. Van mijn kant kon ik hem mijn tekeningen beschrijven, of hem modellen geven die ik thuis had gemaakt, of later ter plekke. Het zou goed zijn geweest om deze gesprekken op te nemen, absoluut surrealistisch, van de volgende soort:
- Probeer je voor te stellen dat twee krommen samenkomen en een soort eierwalm vormen.
Ondanks de moeilijke persoonlijkheid van deze man bleven deze ontmoetingen voor mij onvergetelijk. Ik begon uiteindelijk de gewoonte te krijgen om twee aspirines te nemen voor onze werkafspraken, als preventie. Zijn karakter kan worden samengevat in de bijnaam waarmee zijn vrouw hem had bedoeld: "Gevloekte bliksem", een figuur uit de stripreeks van Hergé "Tintin in Tibet". Morins wrokken waren net zo legendarisch als onomkeerbaar. Soms noemde hij bepaalde vijanden, die al lang overleden waren, en zei hij dan:
- Soms werp ik hen een klein vloekje toe in het hiernamaals, denkend dat als het hun geen pijn doet, het tenminste geen goed kan doen.
Terug naar Gids Terug naar de startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 8 december 2004: