Sfeeromkeeringswiskunde

De Sfeeromkeerings

8 december 2004

pagina 4

De versie van Bernard Morin

Om de pdf-versie van het artikel van B. Morin en J.P. Petit uit 1979, verschenen in Pour la Science, te downloaden:

De sfeeromkeerings (2,8 MB)

We beginnen met een bol die haar grijze kant naar buiten en haar roze kant naar binnen toont. In b en c brengen we de polen in contact. Vervolgens overlappen de oppervlakken elkaar volgens een "knie-catastrofe". Er ontstaat een gesloten zelfintersectiecurve. Rechts onder zien we drie halve doorsneden die de verkregen configuratie beter laten zien. Op dit moment lijkt de bol op een soort circulaire luchtboot, met een "wals" en een dubbelwandige "vloer".

Eerste stap: een "knie-catastrofe". Vorming van een gesloten zelfintersectiecurve

Tweede bewerking: nieuwe knie-catastrofe, vorming van een tweede gesloten zelfintersectiecurve.

Tweede vorming van een gesloten zelfintersectiecurve

Hiervoor is de "luchtboot" gevouwen, met een schroefbeweging, waardoor twee delen van de "wals", diametraal tegenover elkaar, in contact komen. De volgende afbeelding is het resultaat van twee catastrofes die leiden tot "mandarijnplakken".

Na vorming van twee "mandarijnplakken"

Links zijn sneden gemaakt in het model. In het midden is de manier waarop de twee cilinders, waarvan de lokale doorsnede de vorm heeft van het Griekse letter "gamma", elkaar overlappen. Onthoud dat de catastrofe van het vormen van "mandarijnplakken" gebeurt door een "stam" te snijden met twee vlakken die een hoek vormen. Elk van de cilindrische structuren met een "gamma"-vormige doorsnede bevat zowel de afgeronde doorsnede als de hoek. Kijk aandachtig naar figuur i. In j is het geheel van zelfintersectie getekend. Het langste deel van de gesloten curve komt van de eerste "knie-catastrofe", die de bol omvormde tot een "luchtboot". Na het vormen van de twee mandarijnplakken ontstaat een complexer geheel, waarvan j een deel is. In j" zie je dat deze structuur kan worden vergeleken met twee "mandarijnplakken" die op twee niet-aangrenzende ribben van een tetraëder zijn geplakt.

Alles zal ooit veel makkelijker te begrijpen zijn als ik animaties kan maken. Technisch gezien is dit geen probleem. Het is gewoon een kwestie van tijd. Zeldzaam zijn mensen die niet alleen in de ruimte kunnen zien, dat wil zeggen het codering lezen die gebruikmaakt van lijnen, stippellijnen, kleuren, schaduwen en reflecties, maar ook in hun hoofd een reeks transformaties kunnen volgen door het beweging voor te stellen. Ik hoop ooit de tijd te hebben om al deze dingen te doen. Merk op dat we ook polyhedrale modellen kunnen gebruiken, zoals ik deed toen ik liet zien hoe een Crosscap kan worden omgevormd tot een Boyoppervlak. Dat is de toekomst. Maar die modellen moeten worden uitgevonden. Verderop vindt u de geoptimaliseerde polyhedrale versie van het centrale model van deze omkeeringsbeweging, bedacht door Bernard Morin (herinner dat hij blind is!), inclusief de manier waarop u het zelf kunt bouwen uit een snijding.

Waarom heb ik dit verder niet uitgewerkt? Ik zou zeggen: door gebrek aan "toepassingsmogelijkheden". Er zijn geen wiskundetijdschriften die dergelijke werken accepteren. We konden het in 1975-1978 wel doen via een paar notities in de Comptes Rendus van de Académie des Sciences van Parijs, die waarschijnlijk niet veel mensen hebben gelezen. Maar dat was omdat de academicien André Lichnérowicz persoonlijk geïnteresseerd was in deze werkzaamheden. Hij is helaas overleden. Aangezien deze werkzaamheden al in 1975 volledig waren afgerond, zou het wenselijk zijn geweest om een animatiefilm te maken op basis van mijn tekeningen. Aangezien ik in de animatie werkte, was ik volledig in staat om een dergelijk project te coördineren. Maar het was onmogelijk om financiering te vinden bij het CNRS, en uiteindelijk was het de Amerikaanse wiskundige Nelson Max die, geïnspireerd door modellen die zijn collega Charles Pugh had gemaakt (van deze versie van de sfeeromkeeringsbeweging), en gebruikmakend van een krachtige computer, het eerste filmpje kon maken. Maar dit is zeker niet de eerste, noch de laatste keer dat Fransen, zonder enig effect van hun inspanningen, worden voorafgegaan door buitenlandse collega's die beter georganiseerd en beter ondersteund zijn.

Laten we verder gaan naar de derde fase, de moeilijkste om te begrijpen.

Voorbereiding van twee "broek-catastrofes"

In figuur k zijn duidelijk de twee uiteinden van de "broekbenen" zichtbaar, waarvan de details in een voorgrond k' zijn weergegeven. De witte pijl geeft de passage "door de kruis" aan. Deze transformatie is echt moeilijk te begrijpen. Ik heb figuur m toegevoegd om beter begrepen te worden. In l heb ik met stippellijnen de zelfintersectiecurve weergegeven, die volledig zichtbaar is in l'. Een passage (de door de witte pijl aangegeven) gaat dicht. Deze sluitingsbeweging gaat gepaard met een stijging van een deel van de intersectiecurve op twee plaatsen. Deze einden van de curve komen in contact, elk op één van de lijnen die behoren tot de "mandarijnplakken". Wanneer het contact plaatsvindt, vindt de chirurgie plaats. De moeilijkheid ligt in het feit dat, nadat je de vier elementaire catastrofes hebt gezien op de vorige pagina, je in staat moet zijn ze vanuit alle hoeken te transponeren, soms zelfs door je nek te kantelen. In n is het kritieke moment weergegeven waarop de chirurgie plaatsvindt (de "middelste situatie" van de transformatie) en waarop de manier van verbinden van de curve-einden wordt gewijzigd. We weten dat deze "broek-catastrofe" een passage sluit en een andere opent. De oorspronkelijke passage is aangegeven door de witte pijl. Maar er is nog een andere, die je zou zien onder dezelfde hoek als je het model 180° draait rond een verticale as. Deze pijlen vormen één. Voor deze catastrofes plaatsvinden is het nog mogelijk om door deze "gevouwen luchtboot" te lopen. Zodra deze catastrofes hun werk hebben gedaan, is deze passage niet meer mogelijk. In plaats daarvan zijn twee andere passages ontstaan. Maar waar, welke delen van de ruimte zijn hierbij betrokken? Deze passages zullen de binnenkant van de mandarijnplakken in verbinding brengen met de buitenkant. In l' zie je deze mandarijnplakken. Laten we doorgaan naar de volgende stap.

Sluiting van de passage. Naar een dubbele kritieke situatie

In o zijn de twee "broek-catastrofes" op twee verschillende stadia weergegeven. Een van de passages is volledig gesloten. We zijn in een kritieke situatie, net voordat de manier van verbinden van de boogjes van de curve verandert. Rechts (detail in figuur o') is de passage nog bezig zich te sluiten. Daardoor is de vorm van de zelfintersectiecurve o" links en rechts verschillend. Op de figuren p, p' en p" is de kritieke situatie (de "middelste situatie" van de transformatie) aan beide kanten bereikt. Op de volgende plaat zijn de chirurgische ingrepen al voltooid. De buizen die je zag beginnen in figuur p", die de "mandarijnplakken" met de buitenwereld verbinden, zijn nu gevormd:

De twee "broek-catastrofes" hebben hun werk gedaan. De passages (witte pijlen) zijn geopend.

De dingen gaan nu verder met het werk aan het onderste deel van het model, waarvan het detail in r is aangegeven. Kijk aandachtig naar deze oppervlakte. We zien twee delen van parabolische cilinders die elkaar kruisen, gericht in twee orthogonale richtingen. Er is een opening aan de onderkant van r die naar de lezer gericht is. We zullen overwegen deze twee cilinders ten opzichte van elkaar te laten glijden. Dit zou er dan toe leiden dat deze opening dichtgaat en een andere opening opent, gericht in de loodrechte richting ("van rechts naar links"). Hier herkennen we een nieuwe "broek-catastrofe". Als dit verticale glijden van deze delen van parabolische cilinders plaatsvindt, komen we opnieuw in een kritieke situatie, met een verandering van de manier waarop de oppervlakken worden verbonden. Maar in plaats daarvan zullen we het proces uit economische overwegingen stoppen op het moment van kritiek, in de "middelste situatie", wanneer de opening naar de lezer dichtgaat en de opening in de loodrechte richting nog niet geopend is. Laten we dat doen.

Nieuwe broek-catastrofe, gestart in L, gestopt rechts, op kritiek.

We zullen in L een "druk" uitoefenen op de cilinder die zijn roze kant naar buiten toont, en deze omhoog bewegen. In c' zie je het effect van deze beweging op het geheel van zelfintersectie: de boogjes van de curve beginnen dichter bij elkaar te komen. Wanneer de kritieke situatie is bereikt, zal dit deel van het geheel lijken op een "eierenwapper", zoals weergegeven in de figuur. Rechts, t, t', t": de kritieke situatie is bereikt, dat wil zeggen het "middelste moment van de catastrofe". In t" heeft het geheel van zelfintersectie een vorm die overeenkomt met onze eierenwapper. Figuur t' stelt het kleine tetraëdrische volume voor. In t''' is het kruisen van de vier oppervlakken weergegeven.

Ga een aspirine nemen.

In deze versie van de sfeeromkeeringsbeweging zouden alle transformaties en catastrofes tot hun einde moeten worden gebracht. Maar we zullen de zojuist besproken catastrofe blokkeren in haar middelste configuratie, "kritiek". Vervolgens zullen we een catastrofe starten die we nog niet hebben gebruikt: de catastrofe die een tetraëder omdraait. Maar ook hier zullen we stoppen op de "middelste situatie", wanneer het tetraëder is samengedrukt tot een punt. Laten we dat doen!

Laatste catastrofe, geblokkeerd op haar middelste stadium: wanneer het tetraëder is samengedrukt tot een viervoudig punt Q

In t''' is een verwijzing naar de configuratie van de vier oppervlakken, waarvan het geheel van zelfintersectie een volume heeft dat de vorm van een tetraëder heeft. In u" is dat tetraëder samengedrukt tot een punt (viervoudig, aangezien er vier oppervlakken zijn die elkaar kruisen). Links is het "model met vier oren van Morin" samengesteld. Voorop het geheel van zelfintersectie, met onderaan de "eierenwapper" en bovenaan vier armen die lijken op "konijnenoren". Door de oppervlakte een beetje te vervormen, zonder nieuwe catastrofes te veroorzaken, komen we rechts uit op het centrale model met vier oren van Morin. Dit model heeft een symmetrie van orde vier. Als we het model 90° draaien rond zijn verticale symmetrieas, krijgen we hetzelfde beeld, maar met omgekeerde kleuren. Het grijs wordt roze en vice versa. We kunnen dus zeggen dat het werk is afgerond. In feite, als we de volledige homotopie zouden willen tekenen, zou het voldoende zijn, met behulp van een animatie, om dit centrale model 90° te draaien. Vervolgens konden we alle tekeningen die we hebben gemaakt, in omgekeerde volgorde, met omgekeerde kleuren, herhalen. Uiteindelijk zou een inbedding van de bol ontstaan waarbij de bol zijn roze kant naar buiten toont. Maar wiskunde is een school van luiheid of economie, afhankelijk van hoe je naar de zaak kijkt. Aangezien het werk ons heeft gebracht tot een object met deze symmetrie van orde vier, kunnen we er nu mee ophouden en zeggen dat de operatie is voltooid.

Op de volgende plaat heb ik me ingespannen om dit centrale model van Morin, met open oren, zo gedetailleerd mogelijk te beschrijven. Er bestaat een model met "gesloten oren", dat ik in een ander artikel aan de Académie heb beschreven, maar ik zal het hierbij laten.

Gedetailleerde beschrijving van het centrale model van Morin, met vier oren

Later vond ik een polyhedrale representatie van het centrale model met vier oren. In feite heeft een dergelijk model geen "boven" of "onder". Voor gemak van tekenen en animatie (ik heb deze afbeeldingen gemaakt met een CAD-programma dat ik zelf had ontwikkeld, voorafgaand aan de jaren tachtig) toont de volgende animatie deze structuur met het dubbel punt naar boven gericht. Het viervoudige punt is ook zichtbaar:

Mijn polyhedrale versie van het model met vier oren

De manier waarop u dit model kunt bouwen met een snijding

De onderdelen van de snijding (afdrukken op vier sterk papier, in twee kleuren)

In de oorspronkelijke animatie was het object "spiegelbeeldig" ten opzichte van de bovenstaande weergave. Zo zag het er van bovenaf uit als een gamma-kruis, het geheel kon een soort "cultuurhuis voor een neo-nazi-partij" oproepen. Ik heb ervoor gekozen het object om te keren om extreem-rechtse architecten geen slechte ideeën te geven. Klik hier voor alle uitleg over hoe u dit object zelf kunt bouwen. Tot slot enkele weergaven van dit object.

Ik eindig deze beschrijving van de sfeeromkeeringsbeweging met een verbazingwekkend, maar volkomen authentiek verhaal. Toen deze transformaties slechts bekend waren bij een klein aantal initiates, bood een miljonair een prijs van een miljoen dollar aan aan degene die in staat was om modellen te bouwen die voldoende duidelijk waren. In Berkeley begon de wiskundige Charles Pugh aan dit werk en bracht het tot een goed einde. Met het geld kon hij een huis kopen. Deze modellen, gemaakt van kippenkooi en elk een meter in doorsnede (Pugh kon met verbazingwekkende handigheid de mazen van zijn structuren snijden en herkoppelen, waardoor zelfdoorvloeiing mogelijk was), hingen jarenlang aan het plafond van de cafetaria van het departement wiskunde van Berkeley. Toen, een nacht, werden ze gestolen en zijn nooit meer teruggevonden. Niemand weet wie het heeft gedaan. Commercieel gezien zou het moeilijker zijn geweest om te verkopen dan de Mona Lisa in het Louvre. Misschien bezit een amateur ze nog in een geheime kelder, en geniet elke avond van het feit dat hij de enige is die ze kan bewonderen.

Er is ook een ander verhaal, ditmaal over het Boyoppervlak, waarvan ik de eerste was die de meridiaanlijnen plaatste, door ze te identificeren met een familie ellipsen. Dit werk werd volledig empirisch uitgevoerd, gebaseerd op een metaalmodel dat ik had gemaakt. Een van de zonen van de wiskundige Jean-Marie Souriau, Jérôme, volgde op dat moment een studie in natuurkunde. Met behulp van de Apple II-computer van zijn vader wist hij de eerste parametrische representatie van dit object te maken, van de vorm:

X = X ( alpha , mu )

Y = Y ( alpha , mu )

Z = Z ( alpha , mu )

Ik weet niet hoe ik het Symbol-lettertype in Dreamweaver kan invoegen, wat me zou toelaten om Griekse letters in een html-pagina te plaatsen &&& Als iemand me kan uitleggen hoe dat moet......

Met tien regels BASIC-programma konden we voor het eerst in 1981 "draadmodellen" van het Boyoppervlak op het scherm tonen. Als u elders in websites afbeeldingen van synthese van dit object ziet, zijn ze altijd gebaseerd op dit werk dat is gepubliceerd in de Académie des Sciences (tome 293, zitting van 5 oktober 1981, serie 1, pp. 269-272). Aangezien het werk is ondertekend door J.P. Petit en J. Souriau, denken de (zeldzame) lezers dat J. Souriau de bekende wiskundige is. In werkelijkheid is het zijn zoon Jérôme, die nooit zijn natuurkundestudie afmaakte en liever informaticus werd. Het is duidelijk dat de afbeeldingen van synthese, waarvan veel zijn gemaakt door de polytechnicus Colonna aan de École Polytechnique, zijn gebaseerd op deze vergelijkingen die Jérôme en ik hadden gevonden. Ze zouden verbeterd moeten worden, en door