Omkering van de sfeer: wiskundige catastrofe

De omkering van de sfeer

8 december 2004

bladzijde 4

De versie van Bernard Morin

Om de pdf-versie van het artikel van B. Morin en J.P. Petit uit 1979, verschenen in Pour la Science, te downloaden:

De omkering van de sfeer (2,8 MB)

We beginnen met een sfeer die haar grijze kant naar buiten toont en haar roze kant naar binnen. In b en c brengen we de polen in contact. Vervolgens overlappen de lagen elkaar volgens een "catastrofe van de elleboog". Er ontstaat een gesloten zelfintersectiecurve. Rechts onder zien we drie halve doorsneden die de verkregen configuratie beter duidelijk maken. Op dit moment lijkt de sfeer op een soort circulair "rubberbootje" met een "wals" en een dubbele wand.

Eerste stap: een "catastrofe van de elleboog". Vorming van een gesloten zelfintersectiecurve

Tweede beweging: nieuwe catastrofe van de elleboog, vorming van een tweede gesloten zelfintersectiecurve.

Tweede vorming van een gesloten zelfintersectiecurve

Hiervoor is het "rubberbootje" gebogen, met een draaiende beweging, zodat twee diametraal tegenoverliggende delen van de "wals" in contact komen. De volgende afbeelding is het resultaat van twee catastrofes die leiden tot "mandarijnplakken".

Na vorming van twee "mandarijnplakken"

Links zijn er sneden gemaakt in het model. In het midden zie je hoe de twee cilinders, waarvan de doorsnede lokaal de vorm heeft van het Griekse letter "gamma", elkaar overlappen. Onthoud dat de catastrofe van de vorming van "mandarijnplakken" plaatsvond door een "stam" te snijden met twee vlakken die een hoek vormen. Elke cilindrische structuur met een "gamma"-vormige doorsnede bevat zowel de gebogen doorsnede als de hoek. Kijk aandachtig naar figuur i. In j is het geheel van zelfintersectie getekend. Het grootste deel van de gesloten curve komt van de eerste "catastrofe van de elleboog", die de sfeer omvormde tot een "rubberbootje". Na de vorming van de twee mandarijnplakken ontstaat een complexer geheel waarvan j een deel is. In j" zie je dat deze structuur kan worden vergeleken met twee "mandarijnplakken" die op twee niet-aangrenzende ribben van een tetraëder zijn geplaatst.

Alles zal ooit veel eenvoudiger te begrijpen zijn als ik animaties kan maken. Technisch gezien is dit geen probleem. Het is gewoon een kwestie van tijd. Zelden zijn mensen in staat niet alleen ruimtelijk te zien, dat wil zeggen het codering te lezen met lijnen, stippellijnen, kleuren, schaduwen en reflecties, maar ook in hun hoofd een reeks transformaties te volgen door het voorgestelde bewegingspatroon te visualiseren. Ik hoop ooit de tijd te hebben om al deze dingen te doen. Opmerkelijk is dat we polyhedrale modellen kunnen gebruiken, zoals ik deed toen ik toonde hoe een Crosscap kan worden omgevormd tot een Boyoppervlak. Daar ligt de toekomst. Maar deze modellen moeten worden uitgevonden. Verderop vindt u de geoptimaliseerde polyhedrale versie van het centrale model van deze omkering, bedacht door Bernard Morin (herinner dat hij blind is!), inclusief een uitleg hoe u het zelf kunt bouwen uit een uitsnijding.

Waarom heb ik dit verder niet uitgewerkt? Ik zou zeggen: door gebrek aan "toekomstperspectief". Er zijn geen wiskundetijdschriften die dergelijke werken accepteren. We konden het in 1975-78 wel doen via enkele notities in de Comptes Rendus van de Académie des Sciences van Parijs, die waarschijnlijk niet veel mensen hebben gelezen. Maar dat was omdat de academicien André Lichnérowicz persoonlijk geïnteresseerd was in deze werken. Hij is helaas overleden. Aangezien deze werken al in 1975 volledig waren afgerond, zou het gewenst zijn geweest om een animatiefilm te maken op basis van mijn tekeningen. Aangezien ik werkzaam was in de animatie, was ik absoluut in staat om een dergelijk project te coördineren. Maar het was onmogelijk om financiering te vinden bij het CNRS, en het was uiteindelijk de Amerikaanse wiskundige Nelson Max die, geïnspireerd door modellen die zijn collega Charles Pugh had gemaakt (van dezelfde versie van de omkering van de sfeer), en gebruikmakend van een krachtige computer, het eerste filmpje kon produceren. Maar dit is zeker niet de eerste of laatste keer dat Fransen, zonder enig effect van hun inspanningen, worden voorafgegaan door buitenlandse collega's die beter georganiseerd en beter ondersteund zijn.

Laten we overgaan naar de derde fase, de moeilijkste om te begrijpen.

Voorbereiding van twee "pantsercatastrofes"

In figuur k zijn duidelijk de twee uiteinden van de "pantserbenen" te zien, waarvan het detail in een voorgrond k' staat. De witte pijl geeft het "door de kruis" aan. Deze transformatie is echt moeilijk te begrijpen. Ik heb figuur m toegevoegd om beter te worden begrepen. In l heb ik met stippellijnen de zelfintersectiecurve weergegeven, die in zijn geheel in l' staat. Een passage (de door de witte pijl aangegeven) gaat dicht. Deze sluitingsbeweging gaat gepaard met een stijging van een deel van de intersectiecurve op twee plaatsen. Deze stukken van de curve komen in contact, elk op één van de lijnen die behoren tot de "mandarijnplakken". Als het contact plaatsvindt, vindt de chirurgie plaats. De moeilijkheid ligt in het feit dat wanneer je de vier elementaire catastrofes hebt gezien, op de vorige pagina, je in staat moet zijn ze vanuit alle hoeken te transponeren, zelfs door je nek te draaien. In n is het kritieke moment weergegeven waarop de chirurgie plaatsvindt (de "mediaanpositie" van de transformatie) en waarop de manier van verbinden van de curve-einden wordt gewijzigd. We weten dat deze "pantsercatastrofe" een passage sluit en een andere opent. De oorspronkelijke passage is aangegeven door de witte pijl. Maar er is nog een andere, die je zou zien onder dezelfde hoek als je het model 180° draait rond een verticale as. Deze pijlen vormen één. Voor deze catastrofes plaatsvinden is het nog mogelijk om door dit "gevouwen rubberbootje" te lopen. Als deze catastrofes hun werk hebben gedaan, is deze passage niet meer mogelijk. In plaats daarvan zijn twee andere passages ontstaan. Maar waar? Welke delen van de ruimte zijn hierbij betrokken? Deze passages zullen de binnenkant van de mandarijnplakken met de buitenkant verbinden. In l' zie je de mandarijnplakken. Laten