Het omkeren van de Kleinse fles

Het omkeren van de torus

9 december 2004

pagina 6

Het niet-triviale omkeren van de torus
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. Tom 293, zitting van 5 oktober 1981, serie 1, blz. 269-272

Ik beperk me tot het tonen van de afbeeldingen, zonder er commentaar op te geven.

Niet-triviaal omkeren van de torus. Eerste deel van de transformatie

Niet-triviaal omkeren van de torus. Tweede deel van de transformatie

Als men de figuur v bereikt, ziet men dat het nu eenvoudig is om de grijze structuur en de roze structuur te laten samenvallen, waardoor dit object wordt omgezet in een dubbelbladig oppervlak van de Kleinse fles.

Het omkeren vindt dan plaats door de bladen die tegenover elkaar liggen te verwisselen. Hieronder hetzelfde plaatje, maar met een kleurcodering.

Dubbelbladig oppervlak van de Kleinse fles, met kleurcodering

(Dit plaatje maakt geen deel uit van mijn jaarverslag aan het CNRS. Het staat te vinden in het Topologicon)

De verschillende familie van tori.

Wat Stephen Smale in 1957 had aangetoond, was dat er maar één familie van inbeddingen van de bol bestond, en dat allemaal door een homotopie met elkaar konden worden verbonden. Deze vormden een groep waarvan het neutrale element bestond uit het onveranderd laten van het object. Men vroeg zich af of hetzelfde zou gelden voor de torus. De wiskundigen Ioan James en Emery Thomas hebben aangetoond dat de inbeddingen van de torus verdeeld zijn over vier continenten, waarbij het met een reguliere homotopie onmogelijk is om van het ene naar het andere te gaan.

De vier familie van tori

De "standaardtorus", getekend in het midden van het blad, behoort tot dezelfde familie als het object afgebeeld in b. Dat heb ik in de versie van het omkeren van de torus die ik in 1980 ontwikkelde, terloops aangetoond. De familie aangegeven in a staat voor een torus die een verdraaiing van 360° heeft ondergaan. Hij lijkt op de standaardtorus, maar de twee worden gedefinieerd aan de hand van hun kaartstelsel, met behulp van twee families van krommen. Bij de standaardtorus gebruiken we twee verzamelingen cirkels, die we vergelijken met meridianen en parallelen. Bij de torus a zou men de familie cirkels die erop zit, moeten aanvullen met een tweede familie, die in tegengestelde richting verdraaid is. Men kan dan aantonen dat het met een reguliere homotopie onmogelijk is om het rooster van deze torus a in overeenstemming te brengen met het rooster van de standaardtorus (meridianen en parallelen). In dat opzicht zijn het verschillende objecten. Alle deze objecten kunnen natuurlijk worden geconfigureerd als een dubbelbladig oppervlak van de Kleinse fles.

De kracht van de gereedschappen van de meetkundige is om te kunnen voorspellen wat mogelijk is en wat niet. Een standaardtorus omzetten in de torus van figuur b: ja. Van c naar d gaan: nee.

Dit bespaart tijdverspilling en stimuleert vooral tot het zoeken naar dingen die op het eerste gezicht niet vanzelfsprekend zijn, zoals het omkeren van een bol. Dat geldt voor alle wetenschappen. Het komt voor dat mensen jaren of zelfs eeuwen lang vruchtbare aanpakken missen, gewoon omdat ze dachten dat ze onmogelijk waren. Ik heb een aantal jaren van mijn leven besteed aan het ontwikkelen van een theorie over het verwijderen van schokgolven rond een object dat met supersone snelheid door een gas beweegt, met behulp van een Laplace-krachtveld, de "MHD". Een student heeft zelfs een proefschrift over dit onderwerp gemaakt onder mijn leiding, en we hebben deze werkzaamheden gepubliceerd in verschillende tijdschriften met externe beoordeling en op wetenschappelijke conferenties. Het onderwerp begint pas nu, dertig jaar later, aan de oppervlakte te komen. Er wordt vermoed dat de Amerikanen hypersonische vliegtuigen hebben die met Mach 10 kunnen vliegen zonder schokgolven te veroorzaken (en vooral zonder de enorme thermische belastingen te ondervinden die ontstaan bij de compressie van de lucht achter deze "bangs". Dat is het beroemde mythe van Aurora, een vliegtuig dat op de hoogte van de noordelijke lichters vliegt, tussen de 80 en 150 km hoogte. Aurora is ook een voorloper van toekomstige ruimtevaartraketten die zich zullen baseren op de lucht, en dus veel economischer zullen zijn dan de raketten van de CNES. In Frankrijk was het onmogelijk om dergelijke onderzoeken te starten (ik had deze ideeën in 1975), omdat mensen, met name bij het CNRS, ze volledig onrealistisch vonden. Het gevolg is een vertraging van dertig jaar ten opzichte van de Verenigde Staten, volgens mij volledig onoverbrugbaar.


De tabakspijp

Om compleet te zijn, moet men ook de versies van het omkeren van de bol noemen waarbij een tabakspijp het centrale object is. Dat was een voorwerp dat toen ik jong was veelvoorkomend was, maar dat men tegenwoordig waarschijnlijk nauwelijks nog tegenkomt. De eerste die deze reeks afbeeldingen heeft getekend, was Georges Francis. De afgelopen jaren werk ik aan een veelvlaksvormige versie van deze afbeeldingen, die al een aardig centraal model heeft opgeleverd. Maar om het u te tonen, moet ik er eerst weer bij komen. Binnenkort hopelijk, want het is een van de meest fascinerende objecten die ik ooit heb gemaakt.

Vorige pagina Volgende pagina

Terug naar Gids Terug naar de startpagina

Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 8 december 2004: