Omkering van de Klein-fles

De omkering van de torus

9 december 2004

pagina 6

De niet-triviale omkering van de torus
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. Tom 293, zitting van 5 oktober 1981, serie 1, blz. 269-272

Ik beperk me tot het tonen van de volgende tekeningen, zonder er commentaar op te geven.

Niet-triviale omkering van de torus. Eerste deel van de transformatie

Niet-triviale omkering van de torus. Tweede deel van de transformatie

Wanneer men de figuur v bereikt, ziet men dat het nu eenvoudig is om de grijze structuur en de roze structuur te laten samenvallen, waardoor dit object wordt omgezet in een dubbelbladig oppervlak van de Klein-fles.

De omkering vindt dan plaats door de bladen die tegenover elkaar liggen te verwisselen. Hieronder hetzelfde plaatje, maar met een kleurcodering.

Dubbelbladig oppervlak van de Klein-fles, met kleurcodering

(Dit plaatje maakt niet deel uit van mijn jaarverslag aan het CNRS. Het is te vinden in het Topologicon)

Verschillende familie van torussen

Wat Stephen Smale in 1957 had aangetoond, was dat er slechts één familie van inbeddingen van de bol bestond, en dat allemaal door een homotopie met elkaar verbonden konden worden. Deze vormden een groep waarvan het neutrale element bestond uit het object in zijn oorspronkelijke staat laten. Men vroeg zich af of hetzelfde zou gelden voor de torus. De wiskundigen Ioan James en Emery Thomas hebben aangetoond dat de inbeddingen van de torus verdeeld zijn over vier continenten, waar tussen geen reguliere homotopie mogelijk is.

De vier familie van torussen

De "standaard-torus", getekend in het midden van de pagina, behoort tot dezelfde familie als het object in b. Dat heb ik in mijn versie van de omkering van de torus, die ik in 1980 ontwikkelde, tussendoor aangetoond. De in a genoemde familie vertegenwoordigt een torus die een verdraaiing van 360° heeft ondergaan. Hij lijkt op de standaard-torus, maar ze worden gedefinieerd door hun kaartstelsel, met behulp van twee families van krommen. Bij de standaard-torus gebruiken we twee verzamelingen cirkels, die worden geïdentificeerd als meridianen en parallellen. Bij de torus in a zou men de familie cirkels die erop zitten, moeten aanvullen met een tweede familie die in tegengestelde richting verdraaid is. Wat men kan aantonen is dat het onmogelijk is, met behulp van een reguliere homotopie, het rooster van deze torus a in overeenstemming te brengen met het rooster van de standaard-torus (meridianen plus parallellen). In dat opzicht zijn het verschillende objecten. Alle deze objecten kunnen natuurlijk worden geïnterpreteerd als een dubbelbladig oppervlak van de Klein-fles.

De kracht van de gereedschappen van de meetkundige is om te kunnen voorspellen wat mogelijk is en wat niet. Een standaard-torus omzetten in de torus van figuur b: ja. Van c naar d gaan: nee.

Dit bespaart tijdverlies en stimuleert vooral tot het zoeken naar dingen die in geen geval vanzelfsprekend zijn, zoals het omkeren van een bol. Dat geldt voor alle wetenschappen. Het komt voor dat mensen jaren of zelfs eeuwen lang vruchtbare aanpakken missen, gewoon omdat ze dachten dat ze onmogelijk waren. Ik heb een aantal jaren van mijn leven besteed aan het ontwikkelen van een theorie over het verwijderen van schokgolven rond een object dat met supersone snelheid door een gas beweegt, met behulp van een Laplace-krachtveld, via "MHD". Een student heeft zelfs zijn proefschrift hierover gemaakt onder mijn leiding, en we hebben deze werkzaamheden gepubliceerd in verschillende tijdschriften met wetenschappelijke comités en op wetenschappelijke conferenties. Dit onderwerp begint pas nu, dertig jaar later, aan de oppervlakte te komen. Er wordt vermoed dat de Amerikanen hypersonische vliegtuigen hebben die kunnen vliegen met Mach 10 zonder schokgolven te creëren (en met name zonder de enorme thermische belastingen die ontstaan door de compressie van de lucht achter deze "bangs"). Dat is het beroemde mythe van de Aurora, een vliegtuig dat op een hoogte vliegt waar de noorderlichten ontstaan, tussen de 80 en 150 km hoogte. Aurora is ook een voorspelling van toekomstige ruimtevaartraketten die zich kunnen afzetten tegen de lucht, en daardoor veel economischer zijn dan de raketten van de CNES. In Frankrijk was het onmogelijk om dergelijke onderzoeken te starten (ik had deze ideeën in 1975), omdat mensen, met name bij het CNRS, ze volledig onrealistisch vonden. Het gevolg is een vertraging van dertig jaar ten opzichte van de Verenigde Staten, die naar mijn mening volledig onoverbrugbaar is.


De tabakspijp

Voor volledigheid moet ook de versie van de omkering van de bol worden genoemd waarbij een tabakspijp het centrale object is. Dat was een voorwerp dat toen ik jong was veelvoorkomend was, maar dat tegenwoordig zeldzaam is. De eerste die deze reeks tekeningen maakte, was Georges Francis. De afgelopen jaren werk ik aan een veelvlakversie van deze reeks, die al een aardig centraal model heeft opgeleverd. Maar om het u te tonen, moet ik eerst weer aan het werk komen. Binnenkort hoop ik, want het is een van de meest fascinerende objecten die ik ooit heb gemaakt.

Vorige pagina Volgende pagina

Terug naar Gids Terug naar de startpagina

Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 8 december 2004: