3
Groep van translaties:
...Beschouw de 2D-ruimte (x,y). In deze ruimte komt een translatie overeen met het paar scalairen (∆x, ∆y), en men gebruikt de notatie:
x' = x + ∆x
y' = y + ∆y
Men gebruikt dan de optelling. Kan men de translatie niet coderen met een ... vermenigvuldiging?
Beschouw de matrices:
en de groepsactie:
Merkt op dat het hier niet meer gaat om gewone matrixvermenigvuldiging g × r, maar om de groepsactie:
Terzijde kan men translaties in drie, vier dimensies en meer overwegen:
De corresponderende groepsactie is dan:
...Bijgevolg is de groep van translaties commutatief en het neutrale element is "de nultranslatie". In 3D is de dimensie van de groep drie, in 4D is het vier.
Voordelen van matrixgroepen. Voorbeeld: de Euclidische groep.
...Het voordeel van een matrixgroep is dat men tegelijkertijd meerdere dingen kan behandelen die tot nu toe als van verschillende aard leken, zoals rotatie en translatie. Men hoeft dan alleen maar de matrices te beschouwen:
en de groepselementmatrix toe te passen op de kolomvector om te zien dat dit equivalent is aan een combinatie van een rotatie over een hoek α en een translatie volgens de vector (∆x, ∆y).
...Zoals men ziet, werkt de matrix g niet "direct" op de punten (x,y) in deze 2D-ruimte, maar via wat men een "groepsactie" noemt, die aan bepaalde axioma's voldoet.
...Zo "werkt" en "verplaatst" een groep, in dit geval punten. Het gaat hier om de Euclidische groep. In verband met een 2D-ruimte (x,y) wordt deze groep gedefinieerd door drie parameters. Het is g(α, ∆x, ∆y): de dimensie van deze groep is 3. Specifieker:
g(0, ∆x, ∆y) vertegenwoordigt het ondergroep van translaties.
g(α, 0, 0) vertegenwoordigt het ondergroep van rotaties rond de oorsprong.
g(0, ∆x, 0) vertegenwoordigt het ondergroep van translaties parallel aan een rechte (de x-as).
...De Euclidische groep verplaatst punten die per se geen eigenschappen bezitten (terwijl dynamische groepen aan een enkel "materiaal punt" eigenschappen geven, zoals massa, energie, impuls, spin).
...Met de Euclidische groep moet men noodzakelijkerwijs verzamelingen van punten beschouwen. Alsof, in de chemie, atomen niet van elkaar te onderscheiden zijn en alleen de geometrie van moleculaire samenstelling informatie draagt.
...Een meetkundige figuur, zoals een driehoek (gezien als een verzameling van drie punten of drie lijnstukken), een vierkant (gezien als een verzameling van vier punten of vier lijnstukken), kan door de groep worden verplaatst. Hier komt het fundamentele idee van "soort" naar voren. Twee "objecten" worden van dezelfde soort genoemd als er een groepselement bestaat dat ze op elkaar kan afbeelden.
In relatie tot de Euclidische groep vormen vierkanten met dezelfde zijde a een soort:
Vierkanten van dezelfde soort.
...Als de zijden a en b verschillend zijn, behoren deze objecten niet tot dezelfde soort. Er bestaat geen groepselement dat van het ene naar het andere kan overgaan.
In relatie tot de Euclidische groep vormen deze vierkanten geen dezelfde soort.
Euclides toelaat geen homothetieën. Om dit te kunnen behandelen, moet men overstappen op een andere groep, die van Descartes:
groep met vier parameters g(λ, α, ∆x, ∆y), waarbij λ een homothetiecoëfficiënt is. De dimensie van deze groep is dus 4.
Vanaf hier kan men zich gemakkelijk voorstellen dat er een Euclidische groep kan bestaan die werkt op objecten in drie dimensies.
...Het gaat hier niet om een volledig college over groepen, maar om een gevoel te krijgen voor enkele ideeën. Wat is de dierkunde? Een wetenschap die zich richt op het bestuderen van dieren en hen classificeren. Als men zich beperkt tot vorm, kan de Euclidische groep volwassen konijnen classificeren. Om konijnen van verschillende grootte in dezelfde soort te kunnen plaatsen, moet men de groep van Descartes gebruiken, omdat er geen element bestaat in de Euclidische groep (in 3D) dat een klein konijn kan omzetten in een groot konijn.
...U glimlacht? U heeft ongelijk. U heeft misschien in uw appartement of huis een baby die aan het leren is, die in een hoek speelt. U hebt hem een klassiek speelgoed gegeven en hij probeert cilinders, kubussen of prisma's met driehoekige basis in een soort vormdoos te stoppen.
...Wat doet hij? Hij familiariseert zich met de Euclidische groep in 3D. Hij classificeert objecten op soort, wat hem later zal helpen ze te herkennen en "vormherkenning" te doen.
...Hoewel ze verschillende kleuren hebben, controleert de baby of er werkelijk groepsacties (verplaatsingen van deze objecten in de 3D-ruimte) bestaan die het mogelijk maken om cilinder A en cilinder B in overeenstemming te brengen, gebruikmakend van het gat dat de "holle vorm" van deze cilinder of prisma is: de ingang naar het vakje in zijn klassificatiekist. Zo leert hij dat deze cilinders A en B, in termen van vorm (Euclidische groep), tot dezelfde soort behoren.
Terug naar onderafdeling "groepen en natuurkunde"
