4
.
Merkt op de weg dat het systeem dat aan het kind wordt voorgesteld niet foutloos is. Het werkt alleen correct als de beschikbare objecten precies die zijn die met het spel zelf zijn verkocht. Merk op dat het compartiment "cilinders" cilinders met dezelfde straal maar verschillende lengte, maar ook paperclips, een peuter, een kasten sleutel, enzovoort, toelaat...
Logisch, het kind dat dit leerproces van groepen ondergaat, kan afleiden dat een kasten sleutel en een cilinder objecten van dezelfde soort zijn. Dat is waar, in de zin dat deze objecten de gemeenschappelijke eigenschap hebben "die in het gat daar past".
Mijn dochter, toen ze veel jonger was, voerde zeer interessante experimenten uit over groepen, waarbij ze als invoer-venster, als zeef, de ingang van de harde schijf van mijn computer gebruikte. Na een complete ontmontage, nadat het apparaat uitgeschakeld was, kon haar logische aanpak worden hersteld. Tegenwoordig blijft ze sterk geïnteresseerd in groepen. Maar het zijn niet dezelfde groepen, en deze keuzes bevalt me niet.
Laten we teruggaan naar ons kind van daarnet. Enkele maanden later zult u ditzelfde kind introduceren in de groep van Galileï, door objecten naar hem te gooien en hem aan te moedigen ze te pakken. Dan is de vorm van de objecten niet meer belangrijk; belangrijk zijn hun bewegingen. We veranderen van groep. Voor het baby wordt het object (van voldoende kleine afmetingen om het te kunnen pakken) geïdentificeerd met zijn zwaartepunt. Het is een "massapunt", een "deeltje". De groep van Galileï beheert de dynamica van deeltjes.
De indeling gebeurt dan op basis van de soort beweging.
-
Dat kan ik pakken.
-
Dat kan ik niet pakken.
Op basis van een snelle beoordeling van de beginvoorwaarden, positie en snelheidsvector, moet het baby het type beweging herkennen waarmee het geconfronteerd wordt, en anticiperen.
Als het groter is, zou het misschien tennis spelen. Daarbij blijft de groep van Galileï altijd in werking, net als de groep van Euclides, een vierkante matrix. Omdat tennisballen zich bewegen met snelheden die duidelijk veel lager zijn dan die van het licht, hoeft het geen gebruik te maken van de groep van Poincaré (ook een vierkante matrix, die echter de relativistische beweging van deeltjes beheert).
Toch zijn de deeltjes die worden beheerd door de groep van Galileï niet meer dezelfde als de punten van de groep van Euclides; ze hebben attributen.
De specialist in wiskundige fysica die de groep van Galileï gebruikt, spreekt niet meer over deeltjes, maar over bewegingen. Wat hij probeert te classificeren, zijn bewegingen. Hier stuit men op een essentieel aspect van de fysica van elementaire deeltjes: men zoekt een fenomenologische beschrijving te koppelen aan de deeltjes:
Zeg me hoe je beweegt, dan vertel ik je wie je bent.
Men vraagt niet meer "uit wat een deeltje is opgebouwd", maar hoe het zich gedraagt. Zo gedragen neutrale deeltjes zich niet op dezelfde manier als geladen deeltjes. Ze behoren tot verschillende soorten en hebben verschillende attributen.
Ons kind van daarnet, nu een hoog-energie fysicus, bekijkt misschien dagelijks foto's die zijn gemaakt in een bubbelkamer.
Foto's verkregen met behulp van een bubbelkamer (Schem..)
Linker foto: een proton, een neutron en een elektron zijn door het veld van de kamer gegaan. De kamer is onderworpen aan een magnetisch veld loodrecht op het vlak van de afbeelding. Het neutron, zonder elektrische lading, reageert er niet op. Het gaat rechtuit. Geladen deeltjes hebben zeer verschillende baanstralen (Larmorstraal). Lichte elektronen draaien veel scherper in een magnetisch veld loodrecht op hun baan dan zware protonen. En beiden draaien in tegengestelde richting.
Geheel van bewegingen, in een magnetisch veld, beheerd door...
Maar deze groep bestaat nog niet. Als u die zou vinden, zou u gelukkig maken.
Onze man, die zijn foto's bestudeert, ziet daar trajecten van verschillende bewegingsverzamelingen.
-
Dat gaat rechtuit, dat is een neutron.
-
Dat draait langzaam naar rechts, dat is een proton.
-
Dat draait scherp naar links, dat is een elektron.
Rechter foto: een elektron en een antielektron, die ontstaan uit dezelfde straling (stippellijn), volgen symmetrische banen, een teken dat ze tegengestelde elektrische ladingen hebben.
Gedragsgerichte classificatie van soorten, als verzamelingen van bewegingen.
Het moment.
Dit zuiver geometrische object kan worden beschouwd als een verzameling van attributen. Laat geladen deeltjes voorlopig buiten beschouwing, daar komen we later op terug. Een "relativistisch deeltje" heeft attributen die worden gegroepeerd volgens wat de wiskundige Jean-Marie Souriau, een leider op het gebied van wiskundige fysica, een object noemde: het "moment gekoppeld aan de groep van Poincaré".
De attributen van het relativistisch deeltje heten:
-
Energie E
-
Impuls
p
- Rotatie
l (gerelateerd aan spin)
- Translatie
f
Het "moment" is dus: J = { E,
p,
l,
f }
Terzijde opmerking:
Vanaf nu gebruiken we in alles wat volgt de gewoonte om scalaire grootheden te noteren met smalle letters en niet-scalar grootheden (vierkante matrices, rijmatrices, kolommatrices) met vetgedrukte letters.
Opmerking: je kunt dan alle matrixvermenigvuldigingen rij-kolom uitvoeren met behulp van deze smalle of vetgedrukte letters, wat zeer handig is. Geef een voorbeeld. De actie van het element van de Euclidische groep in 2D werd geschreven als:
Door het invoeren van:
krijgen we de compactere notatie:
g wordt nu voorgesteld als een matrix, zelf opgebouwd uit deelmatrices:
-
a is een vierkante matrix van formaat (2,2).
-
c is een kolomvector (de translatievector) van formaat (2,1).
-
0 is een rijvector van formaat (1,2):
Over het algemeen zijn vetgedrukte 0's zowel rij- als kolomvectoren.
De actie wordt dan:
Aangezien
a r
betekent
a x r
(maar het vermenigvuldigingspijl wordt uiteindelijk vaak weggelaten).
Einde van de opmerking, terug naar het thema van het moment. Terug naar de uitdrukking van het moment in het geval van een relativistisch deeltje. J = { E,
p,
l,
f }
E is een scalaire grootheid (energie).
p
is de vector van impuls.
l
en
f
(vetgedrukt) zijn andere vectoren (lx,ly,lz) en (fx,fy,fz): de "rotatie" en de "translatie".
In de loop van persoonlijke onderzoeken die we in dit onderdeel Geometrische Fysica B (de dynamische groepen van de fysica) zullen presenteren, zal het probleem precies zijn om andere "attributen" van elementaire deeltjes te laten ontstaan, als onderdeel van een rijkere moment (de ladingen: elektrisch, baryonisch, leptonisch, tauonisch en het gyromagnetisch moment).
Souriau bouwde in de jaren zeventig de methode uit waarmee de componenten van het moment van een deeltje kunnen worden afgeleid uit de groep die het beheert (in de relativistische context is dat de groep van Poincaré). Zie het boek:
Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Sterk aanbevolen: aspirine.
Het is dan moeilijk verder te gaan zonder een uitgebreid wiskundig instrumentarium, anders gezegd: een vrij complex wiskundig apparaat. Misschien doen we dat later op de site, als er enthousiastelingen zijn, in de stijl van "Alles wat je altijd hebt willen weten over groepen, zonder ooit durven te vragen".
Terug naar het onderdeel "groepen en fysica"