6
We zullen de componenten van het moment van de Bargmann-groep niet uitwerken. Schetsmatig schrijven we het moment van de Bargmann-groep als volgt:
J B = { een scalaire m, plus de andere componenten van het moment }
De coadjointe actie
geeft aan hoe de verschillende componenten van het moment transformeren. Maar deze coadjointe actie begint met de eenvoudige relatie:
(63)
m' = m
De coadjointe actie van de Bargmann-groep op haar moment begint dus met het behouden van de massa, die zo een zuiver geometrisch
status krijgt.
Constructie van de coadjointe actie van de Poincaré-groep op haar momentruimte J p.
Als u zich al volledig verdwaald voelt, laat het dan maar. Dat is normaal en het wordt met de pagina's steeds moeilijker. Ik weet niet meer precies wie dit volgende richt. Waarschijnlijk theoretische natuurkundigen of wiskundigen, maar zeker niet loodgieters. Maar een student van een Grande École of een bachelor in natuurkunde die vasthoudt, kan het volgen. Het zijn immers maar matrices.
Alles begint met een groep van (4,4)-matrices die de Lorentz-groep vormen, waarvan het element is L.
Deze worden axiomatisch gedefinieerd via een matrix G:
(64)
volgens:
(65)
t L G L = G
waarbij t L de getransponeerde van de matrix L is.
De matrices L vormen een groep.
Bewijs.
Het neutrale element is L = 1:
Zij L1 en L2 twee elementen uit de verzameling. Controleer of het product L1 L2 tot de groep behoort. Als dat het geval is:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Maar:
t (A B) = t B t A
Dus:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Bereken vervolgens de inverse van de matrix L. We beginnen met de axiomatische definitie van de elementen L:
t L G L = G
We vermenigvuldigen rechts met L⁻¹:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ → t L G = G L⁻¹
We vermenigvuldigen links met G:
G t L G = G G L⁻¹ → G t L G = L⁻¹
Dus is de inverse matrix van L:
L⁻¹ = G t L G
Dus:
(66)
de ruimte-tijd-vector. De matrix G komt van de Minkowski-metriek, die dan kan worden geschreven (met c = 1):
(67)
Oefening: toon aan dat de inverse matrix voldoet aan:
(68)
We introduceren nu een ruimte-tijd-translatievector:
(69)
Vanaf hier bouwen we het element g p van de Poincaré-groep:
(70)
Oefening: toon aan dat dit een groep vormt en bereken de inverse matrix:
(71)
Hieronder de "tangent-vector aan de groep, element van haar Lie-algebra":
(72)
Vanaf hier berekenen we de anti-actie:
(73)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Om het berekeningsgemak te vergroten, merken we op dat:
(74)
G d L een antisymmetrische matrix is. Noem deze:
(75)
dus:
(76)
Stel:
(77)
Vanaf dit materiaal bouwen we de anti-actie:
(78)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Na alle berekeningen krijgen we de afbeelding:
(79)
Als u deze eenvoudige matrixberekening wilt overslaan, ga dan naar vergelijking (80), onderaan de pagina.
(79a)
(79b)
waaruit de componenten van de anti-actie volgen:
(79c)
maar:
(79d)
dus:
(79e)
maar GG = 1, dus:
(79f)
waaruit we de afbeelding afleiden:
(79g)
Wat de gewenste anti-actie vormt, de afbeelding:
(80)
Terug naar het onderoverzicht "groepen en natuurkunde"