7
Een element
g
p van de Poincaré-groep Gp wordt gedefinieerd door een rij parameters {
p
i}, waarvan het aantal, zoals we al hebben gezegd, de dimensie van de groep aangeeft. De matrix
d g
(g = e)
bestaat uit de grootheden {
dp
i} . De bovenstaande afbeelding is dus van de vorm:
(81)
Met andere woorden, aan een verzameling scalairen
dp
i wordt een even grote verzameling scalairen
dp
i
' toegekend.
De dualiteit berust op de aanname van de invariantie van een scalaire, volgens:
(82)
waarbij n de dimensie van de groep is (tien voor de Poincaré-groep). De scalairen Ji vertegenwoordigen de componenten van het moment, evenveel in aantal.
We besluiten dit moment
J te ontbinden in twee objecten. Het eerste is een antisymmetrische matrix
M van formaat (4,4), dus met zes componenten, en het tweede een "viervector"
P, een matrix van formaat (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
We schrijven het scalair product in de vorm:
(85)
waarbij Tr "trace van" betekent, en we hebben nog:
(86)
een lineaire vorm waarvan de invariantie de dualiteit waarborgt.
met:
(87)
(87b)
(87c)
maar
GG
= 1
dus dit is gelijk aan:
(88)
Identificeer de termen in
y (89)
Dat wil zeggen:
(90)
----> Hier volgen opnieuw berekeningsdetails. Als u wilt,
klikt u hier
om direct naar het resultaat te gaan.
In de trace kan een circulaire permutatie van de termen worden uitgevoerd.
(90a)
(90b)
(90c)
het tweede lid is gelijk aan het product van een rijmatrix met een kolommatrix.
Dit is gelijk aan de trace van het omgekeerde product (hier schematisch: product van een rijmatrix met een kolommatrix):
(90d)
In deze trace kan ik een circulaire permutatie uitvoeren:
(90e)
Hieruit volgt:
(90f)
(90g)
Hier wordt opnieuw het theorema over de sporen van matrices toegepast die het product zijn van een andere matrix met een symmetrische matrix.
Elke matrix kan worden gesymmetriseerd of antisymmetriseerd. Bovendien is de spoor van het product van een matrix met een symmetrische matrix nul.
(90h)
Ik kan dit toepassen op de matrix (90i)
aangezien we de spoor nemen
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
maar:
(90l)
dus
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
en:
(90q)
uiteindelijk:
(90r)
Door termen te groeperen en de accenten aan de andere kant te plaatsen, krijg ik mijn groepsactie:
Afbeeldingen
Terug naar het onderoverzicht "groepen en natuurkunde"