8
(91)
Deze geconjugeerde actie kan geschreven worden in matrixvorm.
De matrix van de Poincaré-groep is:
(92)
zijn getransponeerde is:
(93)
Overweeg de matrix:
(94)
Dit betekent dat we het moment
(95)
Jp = {
M,
P }
in matrixvorm zullen brengen en het product vormen:
(96)
(97)
(98)
dat ik kan identificeren met de matrix:
(99)
Jp is dus het moment van de Poincaré-groep, uitgedrukt in matrixvorm. En de geconjugeerde actie wordt:
(100)
Als oefening kan de lezer, uitgaande van de axioma’s, controleren dat dit inderdaad een
actie
is.
Het moment van de Poincaré-groep kan als volgt worden uitgewerkt:
(101)
Deze matrix is antisymmetrisch (wat impliceert dat de hoofddiagonaal uit nullen bestaat).
M is de matrix:
(102)
Laten we deze uitwerken:
(103)
Dit is inderdaad een antisymmetrische matrix, zoals vanaf het begin verondersteld, afhankelijk van zes parameters:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
De drie laatste ( fx , fy , fz) zijn de componenten van een vector, de vector-
verschuiving f
:
(105)
De drie eerste ( lx , ly , lz) zijn de onafhankelijke componenten van een antisymmetrische (3,3)-matrix, de
rotatie l
:
(106)
Zoals:
(107)
De vector
P is de
viervector van impuls-energie
:
(108)
We kunnen nu het moment van de Poincaré-groep in volledige algemeenheid uitwerken:
(109)
We controleren dat dit inderdaad een object met tien componenten is (aantal gelijk aan het aantal dimensies van de groep).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Terug naar het onderoverzicht "groepen en natuurkunde"