9
Deeltjes met spin.
De Poincaré-groep beschrijft de relativistische beweging van een puntobject. Evenzo beschrijft de Bargmann-groep, waarvan de uitdrukking verderop wordt gegeven, de niet-relativistische beweging van een puntobject, dat men dan een "puntmassa" noemt.
Men ziet dus dat deze techniek, het berekenen van de coadjointe actie van de groep op de ruimte van momenta, heeft geleid tot het opduiken van verborgen elementen, kenmerken van het object: de componenten van het moment.
Wat opvallend is, is dat deze aanpak, ontwikkeld door Souriau, de kernobjecten van de natuurkunde laat verschijnen als zuiver geometrische objecten. Hij heeft hiermee een ongekende werkzaamheid uitgeoefend in de geometrisering van de natuurkunde.
Naast energie en impuls, zijn andere componenten, het "wirvel" en het "passeren", voor de natuurkundige nogal verwarrend. Wat is dat?
De uitdrukking van de momentcomponenten hangt uiteraard af van het gekozen coördinatensysteem.
Het eenvoudigste is misschien om even terug te keren naar het niet-relativistische geval, ofwel naar de vorm van de coadjointe actie zoals die zou zijn voortgekomen uit de analyse van de Bargmann-groep.
(111)
Mysterieuze formule. Wat is de betekenis ervan? Hoe werkt het?
In het bovenstaande kader zal de natuurkundige enkele vertrouwde objecten herkennen:
(112)
zijn slechts twee uitdrukkingen van de snelheidsvector { vx , vy , vz }, de eerste in vorm van een kolommatrix, de tweede als rijmatrix. Het product van beide matrices is een scalaire:
(113)
iets dat begint te lijken op kinetische energie.
m v is een impuls.
De traditionele natuurkundige, bij de dynamica van een puntmassa, kent slechts drie dingen:
- De massa m
- De impuls m v
- De kinetische energie 1/2 mv²
Ja, maar snelheid ten opzichte van wat?
Een groep is ook een visie op dingen. Men kan dan kiezen om objecten te verplaatsen (zoals bij de Euclidische groep), ten opzichte van een verondersteld vaste waarnemer, of, het object vast houdend, het op een andere manier waarnemen.
Indien men deze verplaatsing, deze transportatie van objecten, overneemt, in het geval van dynamische groepen, die van de natuurkunde (in tegenstelling tot de Euclidische groep waarin de tijd niet voorkomt), moet men ook zeggen dat men de objecten activeert, door hun snelheid v en energie E te geven.
Als men de tegenovergestelde visie aanneemt: het object als vast beschouwen en zelf verplaatsen, welke betekenis heeft dan de groep?
De Euclidische groep zou dan betekenen: "Zien van elders en onder een andere hoek". "Elders" is de translatievector:
(114)
"Onder een andere hoek" is de rotatiematrix a, een rotatie in de ruimte (die men eventueel zou kunnen uitwerken met Eulerhoeken, wat we hier niet doen).
Bij dynamische groepen moet deze visie, deze manier van kijken naar "dingen", worden verrijkt. Blijvend binnen de context van de Bargmann-groep, betekent het invoeren van deze snelheid v dat de waarnemer, die deze puntmassa van elders (translatievector c) onder een andere hoek (rotatiematrix a) observeert, ook zelf beweegt ten opzichte van de veronderstelde stilstaande puntmassa, met snelheid v.
En om compleet te zijn, om het nog ingewikkelder te maken, beweegt hij niet in hetzelfde tijdsverloop als het deeltje, de waargenomen puntmassa. Hij is tijdelijk verschoven met een tijdsverschil Δt. Met andere woorden: hij observeert van elders, maar het is een ruimte-tijd-elders, overeenkomend met de ruimte-tijd-translatievector:
(115)
Met deze afstand tot de puntmassa, wat constateer ik? Ten eerste dat: m' = m
Dit heeft geen invloed op de massa.
Ik kan mijn leven vereenvoudigen door de rotatie te annuleren. Het is al ingewikkeld genoeg om een puntmassa van elders te observeren, vanaf een ander tijdstip, verschoven, op een skateboard met snelheid v. Is het echt nodig om ook nog eens mijn hoofd te kantelen?
Nee. Laten we a = 1 nemen.
Maar dit detail wordt meestal over het hoofd gezien in berekeningen. De coadjointe actie, zo geïnspireerd, wordt dan:
(117)
"Overwegen" moet hier in de etymologische zin worden genomen. Wat doe ik wanneer ik een situatie overweeg, de hemel, een slagveld, een film van een spionagievliegtuig?
Een notaris schrijft:
- Overwegen het onderzoek van de plaats...
Statische visie, overeenkomend met de Euclidische groep. De notaris observeert de objecten op afstand c, op hetzelfde moment (Δt = 0), in principe stilstaand (v = 0). Eventueel onder een bepaalde hoek, onder "een bepaalde hoek".
Een generaal die in een verkenningvliegtuig rondvliegt, is een soort notaris die zich verplaatst (v ≠ 0).
Maar een hoofd van de staf die de film van een spionagedrone bekijkt, staat voor een tijdsverschoven situatie. Hij moet zichzelf zeggen:
- Overwegen we het doelwit, gezien vanaf een bepaalde plek, in een scherpe bocht, met een bepaalde snelheid, en bovendien zoals het er twee uur geleden uitzag...
Het doelwit heeft geen specifieke eige snelheid. Men kan het niet als stilstaand beschouwen, zelfs al is het "een vaste installatie". Zelfs de Aarde beweegt, de Zon ook, de melkweg, enzovoort.
Terug naar het onderdeel "groepen en natuurkunde"