10
Het enige wat ik kan zeggen is:
- dat ik me op een afstand
c
van de "doelwit" bevond,
- het doelwit observeerde terwijl ik zelf bewoog met snelheid
v
,
- en dat ik, ten opzichte van dit doelwit, vertraagd was met een tijdsverschil
D t
Ten opzichte van mijzelf:
--- Ik heb geen verandering aan zijn massa m aangebracht.
--- Ik heb hem een impuls m
v
(impuls) gegeven.
---- Ik heb hem een overgang m [
c - v D t ]
gegeven,
---- en een rotatie:
Laten we deze laatste uitwerken:
(118a)
(118b)
(118c)
of:
(118d)
Men kan de drie onafhankelijke componenten van de rotatiematrix
l
beschouwen als die van een vector. Die vector wordt dan:
(119)
Hoewel we het vectorproduct in onze ruimte niet hebben gedefinieerd, dat wil zeggen dat we hem geen rechter- of linkerhandigheid hebben gegeven, kunnen we dit toch beschouwen als een vectorproduct:
(120)
het omgekeerde
v
duidt het vectorproduct aan. Men ziet dat de laatste regel van de formules die de coadjointe actie op het moment geven, overeenkomt met:
(121)
l
is een matrix en geen vector (maar in onze notatie geven vetgedrukte letters zowel matrices als vectoren aan, terwijl cursieve letters scalaren aanduiden).
Deze vector, het vectorproduct, begint voor de natuurkundige wel iets bekends te lijken: het
impulsmoment
.
Men neemt een deeltje, gaat er op afstand
c
vandaan en observeert het terwijl men met snelheid
v
beweegt. Het lijkt alsof het omgekeerde is: dat het deeltje zich op afstand van een veronderstelde stilstaande waarnemer bevindt en met snelheid
v
beweegt.
(122)
Er blijft nog de "overgang"
f
= m [
c - v D t ]
over. Deze verdwijnt door simpelweg
c = v D t
te stellen, dat wil zeggen door de snelheid
v
en de ruimtelijk-tijdse verschuiving te verbinden:
(123)
Laten we de uitdrukking voor het moment uit het Poincaré-groep heroverwegen, uitgedrukt in een coördinatenstelsel waarin de overgang nul is:
(124)
Een deeltje is een specifieke keuze binnen het moment. Toch kunnen coördinatentransformaties ervoor zorgen dat de overgang
f
verdwijnt en dat de componenten van de rotatie
l
en de impuls
P
worden teruggebracht tot één component (beweging in de z-richting):
(125)
Het object dat wordt beschreven door het Poincaré-groep heeft dus a priori:
-
een energie E
-
een impuls P
-
een eigen rotatie l
De rotatie is een massa, vermenigvuldigd met een lengte, vermenigvuldigd met een snelheid. Het heeft dus de dimensie M L² T⁻¹ van de constante van Planck h.
De methode van de
geometrische kwantificatie
, ontwikkeld door Souriau (zie Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973), laat zien dat deze rotatie evenredig moet zijn met:
(125b)
met half-gehele waarden. Dat wil zeggen ofwel de eenheid (foton), ofwel 1/2 voor andere deeltjes zoals het elektron, proton, neutron, neutrino's en hun antideeltjes.
Terug naar het onderdeel "groepen en natuurkunde"