12
Deeltjes met een massa en een niet-nul spin.
Er is geen directe relatie meer tussen energie en impuls, zoals bij fotonen en neutrino's, deeltjes zonder massa.
(131)
m is de rustmassa, die dan overeenkomt met de massa die voortkomt uit het Bargmann-groep, waarvoor geldt:
(132a)
(132b)
Beperken we ons tot:
Proton
Elektron
Neutron
en hun antideeltjes.
Deeltjes hebben verschillende ladingen, eigenschappen, die evenmin voortkomen uit het Poincaré-groep:
-
De elektrische lading e = ± 1
-
De baryonische lading cB = ± 1
-
De leptonische lading cL = ± 1
-
De muonische lading cm = ± 1
-
De tauonische lading ct = ± 1
-
De gyromagnetische verhouding
De omkering van al deze grootheden komt overeen met de C-symmetrie. We kunnen dit dan samenvatten in het volgende overzicht:
(133)
die een willekeurige oriëntatie kan hebben, net als de spin.
Het magnetisch moment is gelijk aan de gyromagnetische verhouding
v
vermenigvuldigd met de spin
s .
(134)
Hier hebben we een vetgedrukte letter
s
gebruikt voor de spin. Dit betekent dat de richting van de spin van de deeltjes willekeurig kan zijn. Maar hun grootte is een van hun kenmerken en is fundamenteel invariant (geometrische kwantisering van het roteren van de deeltjes).
De C-symmetrie, de ladingconjugatie, die de gyromagnetische verhouding
v
omkeert, keert ook het magnetisch moment om. De spin blijft onveranderd.
Vaste magneten.
Als men een stuk zacht ijzer plaatst in een voldoende sterk magnetisch veld, en vervolgens dat veld vermindert, zal het metaal een permanente magnetisatie behouden. Wat is er gebeurd?
Het magnetische veld richt de spins van de elektronen uit, die zich gedragen als kleine magneten, kleine magnetische dipolen.
Maar waarom behouden ze dan de richting die hun werd opgelegd? Door imitatie. Elk elektron richt zich uit volgens het magnetische veld dat wordt veroorzaakt door zijn buren. En omdat ook de andere elektronen dit doen, blijven al deze momenten parallel. Het is een soort "spatiale Panurge". Tenzij men het stuk metaal verwarmt of ermee slaat, dan zal uiteindelijk deze mooie elektronische orde verstoord worden.
Magnetisch moment van antimaterie.
De ladingconjugatie, die verbonden is met de omzetting materie-antimaterie in de zin van Dirac (dat zullen we later verduidelijken), leidt tot een omkering van het magnetisch moment, door de omkering van de gyromagnetische verhouding, terwijl de spin onveranderd blijft.
Natuurlijk verandert deze C-symmetrie noch de energie, noch de impuls van het deeltje.
De vier componenten van het Lorentz-groep.
Zoals gezien is het element
L van het Lorentz-groep L axiomaaties gedefinieerd. Het moet voldoen aan:
(135)
(136)
Elke matrix
L die aan deze definitie voldoet behoort tot het groep L. Het is een (4,4)-matrix, die bijvoorbeeld kan werken op:
(137)
ofwel op ruimtetijd. We kunnen dan terecht vragen of deze matrices symmetrieën kunnen uitvoeren in dit ruimtetijdgebied. Kan men bijvoorbeeld x vervangen door -x? Kunnen de matrices worden ingedeeld in verschillende onderverzamelingen, die dit doen en die het niet doen?
Lang geleden (in het Engels: many beautiful candles ago) is dit alles onderzocht en aangetoond dat het Lorentz-groep bestaat uit vier soorten matrices.
Ln – die noch ruimte, noch tijd omkeren.
Ls – die de ruimte omkeren.
Lt – die de tijd omkeren.
Lst – die zowel ruimte als tijd omkeren.
We noemen deze verzamelingen de
componenten
van een groep. Het Lorentz-groep heeft dus vier componenten.
Onmiddellijk kunnen we vier matrices produceren, waarvan elke matrix behoort tot één van de genoemde onderverzamelingen:
(138)
A n = 1
(neutrale element), behoort tot
Ln: omkeert noch ruimte noch tijd.
A s
behoeort tot Ls: omkeert de ruimte.
A t
behoeort tot Lt: omkeert de tijd.
A st
behoeort tot Lst: omkeert zowel ruimte als tijd.
Om een groep te vormen (in dit geval een ondergroep van het Lorentz-groep) moet een verzameling matrices het neutrale element
1
in het overeenkomstige formaat (n,n), hier (4,4), bevatten. Alleen de matrices uit de verzameling Ln voldoen aan dit criterium. Ze vormen een
ondergroep van het Lorentz-groep
. Omdat deze verzameling het neutrale element van de groep bevat, noemen we het ook de
neutrale component van de groep
. De andere verzamelingen matrices vormen geen ondergroepen (onmogelijk: ze bevatten het neutrale element niet).
Opmerking:
(139)
At = - A s A
st = - A n
We kunnen dan de verzameling Lo = Ln
»
Ls beschouwen, die een ondergroep van het Lorentz-groep is en die we
orthochroon
[1] noemen. De matrices Lac = Lt
»
Lst vormen geen groep, maar de verzameling componenten die gerelateerd zijn aan de omkering van de tijd, die we
antichroon
[12] noemen. Het volledige Lorentz-groep is:
(140)
L = Lo
»
Lac
Maar we kunnen ook opmerken dat het element:
(141)
m L
o , met
m
= ± 1
het volledige groep dekt.
Terug naar het onderoverzicht "groepen en natuurkunde"