13
De vier componenten van de Poincaré-groep.
Vanuit de Lorentz-groep wordt de Poincaré-groep gemaakt, reeds genoemd:
(142)
Dit is de "ruimte-tijd translatie vector".
(143)
Deze Poincaré-groep heeft ook vier componenten, elk verbonden met de overeenkomstige component van de Lorentz-groep.
Boven, de actie van de groep op zijn bewegingsruimte. Maar wat interessant is, zijn de acties van de vier componenten op het
moment
. Zie: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (en Birkhauser 1997, in het Engels), hoofdstuk III, pagina 197, sectie genaamd:
Ruimte- en tijd-inversies.
Laten we de componenten van het moment die geassocieerd zijn met de Poincaré-groep herinneren:
E: energie
p
: impuls
f
: doorstroom
l
: draaiing
Voor een nauwe overeenkomst met de notatie van Souriau, noemen we:
- L
n de neutrale component van de Lorentz-groep.
- L
s de component die de ruimte omkeert.
- L
t de component die de tijd omkeert - L
st de component die beide omkeert.
Aangezien het een ruimte-tijd translatie is, zijn de vier componenten van de Poincaré-groep:
g
p (
Ln ,
C) neutrale component
g
p (
Ls ,
C) ruimte omkerend
g
p (
Lt ,
C) tijd omkerend
g
p (
Lst ,
C) zowel ruimte als tijd omkerend.
Laten we de effecten op de componenten van het moment onderzoeken. We moeten de formules overwegen die de actie van de groep op zijn momentenruimte geven:
(144)
P is de viervector:
(145)
We kunnen de matrices analyseren:
(146)
met
l = ±
1
en
m = ± 1 .
L n = L ( l = 1
;
m
= 1)
L s = L ( l
= - 1
;
m
= 1)
L t = L ( l = 1
;
m
= - 1)
Lst =
L ( l
= - 1
;
m
= - 1)
(147)
(148)
Laten we nu de actie op de draaiing en de doorstroom onderzoeken.
(149)
Maar, in wat ons aangaat
C = 0
(150)
waaruit
l
' =
l
en
f
' =
l m f
We kunnen afleiden:
(151)
g
p (
Ln ,
C) :
IE --> E ;
p
-->
p
;
f
--->
f
;
l
---->
l g
p (
Ls ,
C) :
IE --> E ;
p
--> -
p
;
f
---> -
f
;
l
---->
l g
p (
Lt ,
C) :
IE --> - E ;
p
-->
p
;
f
---> -
f
;
l
---->
l g
p (
Lst ,
C) :
IE --> - E ;
p
--> -
p
;
f
--->
f
;
l
---->
l
De inversies veranderen nooit de draaiing
l
.
Daarentegen zijn tijd-inversie en energie-inversie,
E ---> -E ,
synoniem.
De draaiing is synoniem met spin, wanneer het gequantiseerd is. Geen enkele inversie verandert dat.
De spin (als de grootte van de draaivector van de deeltje) is slechts een getal.
De energie van een deeltje in rust is mc
2
.
De tijd-inversie is synoniem met de massa-inversie m.
De ruimte-inversie inverseert de massa niet.
De twee eerste componenten van de groep worden door Souriau genoemd
orthochronous,
en de twee laatste
antichronous .
Hij merkt op dat dit het probleem van negatieve massa's oproept, wat fysici niet zo leuk vinden. In feite, wat gebeurt er met het resultaat van de ontmoeting van twee deeltjes met energie + mc
2
en - mc
2
Er is volledige annihilatie.
Het gaat niet om de eenvoudige annihilatie van materie en antimaterie, die, in plaats daarvan, fotonen oplevert. Het zou een fenomeen zijn dat niets oplevert in zuivere vorm.
Om dit gevaar van negatieve massa's te vermijden, overweegt Souriau twee oplossingen. De eerste is om simpelweg te besluiten dat deeltjes met negatieve massa niet bestaan. De tweede is om de antichronous transformaties uit te sluiten.
Zeggen we in onze eigen woorden:
- God, in zijn oneindige wijsheid...
Laten we doorgaan met het opzetten van elementen die dienen als uitgangspunt voor ons eigen werk.
Terug naar het onderhoofdstuk "groepen en fysica"