15
Terugblik op de huidige vraag.
We zijn bereid om een avontuur aan te gaan, dat wil zeggen een eenvoudige matrix te schrijven, een groep te bedenken die afhankelijk is van een bepaald aantal parameters en in staat is om te werken op een ruimte met een bepaald aantal dimensies (hier, in dit geval, tien). Vervolgens, werkend op de manier van boustrophedon (van bous, het paard, en strophedein, het veld) hebben we deze beroemde
co-adjointe actie van de groep op zijn momentruimte
berekend
en daarbij dit object gedefinieerd, met zijn eigenschappen, componenten, en de manier waarop deze co-adjointe actie op hen werkt, wat we dan zullen proberen te geven een
betekenis
, een
fysische interpretatie.
Laten we even terugkijken op het pad dat we hebben afgelegd, door een groep opnieuw op de proef te stellen die, hoewel zij formeel ingewikkelder lijkt:
(168)
ons een co-adjointe actie heeft geleverd, hierna:
(169)
die meteen de componenten van dit
puntobject
, van dit
materieel punt
, heeft doen opkomen.
(170)
J B = { E , m ,
p
,
f
,
l } J B = = { E , m , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz }
In ieder geval wisten we vanaf het begin dat dit mysterieuze moment uit elf scalairen moest bestaan, omdat hun aantal gelijk moest zijn aan de dimensie van de groep, die eveneens elf is. Een blik op de matrix-elementen van de Bargmann-groep:
(171)
a is een "orthogonale" matrix, een matrix die "draait" of "gerelateerd is aan een rotatie in een driedimensionale ruimte". We hadden deze uitgewerkt in het geval van twee dimensies. In dat geval afhankelijk van slechts één parameter, de rotatiehoek
a
. In drie dimensies zal deze afhangen van drie parameters, de Euler-hoeken:
a b g
De snelheidsvector
v
geeft drie extra parameters:
vx vy vz
De ruimtelijke translatie
c
voegt er drie toe:
D x D y D z
en de tijdsverschuiving één extra:
e = D t
Totaal: tien.
Een mysterieuze elfde parameter toevoegen:
f
"gerelateerd aan de kwantumwereld". Goed...
Totale som: elf. Dus een moment met elf componenten, die ik in de vorm kan zetten:
(172)
J B = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
Berekend op elk moment kon ik verbanden tussen deze momentcomponenten vaststellen, hoe ze met elkaar in verbinding stonden, zich groeperden om te vormen:
-
scalairen (E en m)
-
vectoren (
p
en
f
)
- een matrix:
l
.
Het lijkt alsof ik zeg: een mens heeft een hoofd, twee armen en twee benen. Maar hoe beweegt hij zich, hoe zijn deze "onderdelen" met elkaar verbonden?
De co-adjointe actie heeft ons vervolgens precies verteld hoe de groep werkt op deze momentelementen:
(173)
In deze tabel zag men meteen dat in dit beroemde moment één van de componenten, m (waarvoor we net zo goed het oorspronkelijke, willekeurige label J 2 hadden kunnen behouden), een eenvoudige scalar was die ongevoelig bleef voor deze groepsactie.
We dachten toen dat dit statuut goed zou passen bij wat we denken te weten over de
massa
m in een niet-relativistische wereld.
Deze momentformules gaven ons de waarden van deze verschijningen, genoemd attributen, componenten van het moment dat geassocieerd is met het materieel punt: we volgen de materie in haar toestanden: wanneer ze wordt gedraaid (
a
), ruimtelijk verplaatst (
c
), tijdsverschoven (e), bewogen met een snelheid
v
en mysterieus verplaatst in deze net zo mysterieuze vijfde dimensie
z
, over een hoeveelheid
f
, waarvan we worden verteld dat "alles hiermee te maken heeft met kwantum".
Goed...
Het moment ondergaat een transformatie via de co-adjointe actie die erop werkt. Het gaat van een "toestand":
(174)
naar een andere "toestand":
(175)
Waarom zouden we dan niet een soort "grondtoestand" beschouwen, die is:
(176)
J B = { 0 , 0 ,
0
,
0
,
0
} = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
en zeggen dat een co-adjointe actie dan attributen zou opleveren die ik zou kunnen herkennen?
Maar ik zie dat ik ten minste de massa m moet meenemen, omdat de co-adjointe actie deze niet verandert. Als ik hem nul zou nemen, zou hij dat blijven. Dus moet ik uitgaan van het basisobject:
(177)
J B = { 0 , m ,
0
,
0
,
0
} = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
Dit object heeft geen energie. De groepsactie geeft hem die. Evenzo geeft het hem een impuls, een verplaatsing en een draaiing.
Een kinetische energie:
(178)
Een impuls (de fysicus met een integristische houding zou zeggen een "hoeveelheid beweging"):
(179)
m v
Een "draaiing", een soort "eigen impulsmoment", alsof ons materieel punt zichzelf kon draaien (wat mogelijk is voor een kleine metaalbal, met massa m, klein genoeg om als een punt te worden beschouwd):
(180)
Er blijft dit uiterst verwarrende object voor een fysicus, het "verplaatsingsattribuut". E dat op mijn materieel punt werkt, heb ik hem een "verplaatsingsattribuut" gegeven, terwijl hij dat aanvankelijk niet had, en dat is:
(181)
Alle componenten van de groepsmatrix zijn behandeld als onafhankelijke grootheden. Dit is "de meest algemene translatie".
Uiteindelijk, wanneer je een mens aanraakt, kan hij "verplaatst" worden en in alle toestanden gebracht worden.
Hier zou het gaan om de meest algemene translatie, waarbij ons materieel punt:
-
wordt gedraaid:
a -
ruimtelijk verschoven:
c -
tijdsverschoven: e
-
bewogen met een snelheid:
v -
verplaatst over een mysterieuze hoeveelheid
f
in een net zo mysterieuze ruimte
z.
of:
-
op afstand waargenomen
c -
door een waarnemer die beweegt met snelheid
v -
onder een hoek
a -
volgens een filmopname die e = D t eerder of later is gemaakt.
-
vanaf een "vijfde ruimtelijke waarnemingshoek"
z
, waar de waarnemer zich mysterieus heeft verplaatst over
z
Alles dat zou moeten "terugkomen op hetzelfde".
Terug naar het onderoverzicht "groepen en fysica"