Opwekking
van het werk van Jean-Marie Souriau
over de dynamiek van het zonnestelsel.
Dit werk is gepresenteerd door de auteur tijdens een symposium gehouden op het observatorium van Genève in 1989, waarvan het thema was:
"Resonanties en niet-resonanties in het zonnestelsel"
Het uitgangspunt van Souriau is de analyse van de omlooptijden van de verschillende planeten. Hij neemt dan de omlooptijd van de Aarde: 365 dagen en die van Venus: 225 dagen en berekent zowel naar voren als naar achteren de bijbehorende Fibonacci-rij (of een Fibonacci-achtige rij, waarin elk getal de som is van de twee voorgaande getallen). Het is bekend dat onder deze omstandigheden het verhouding van twee opeenvolgende getallen in deze rij nadert tot het gouden getal.
Souriau krijgt dan het volgende:
30
Zon
(29 dagen)
55 Niets
85
Mercurius
(88 dagen)
140 Niets
225 Venus 365 De Aarde
590 (1 jaar en zeven maanden)
Mars
(1 jaar en tien maanden)
955 Niets
1545 (4 jaar en drie maanden)
Ceres-Pallas
(asteroïdengordel)
2500 Niets
4045 (11 jaar)
Jupiter
(11 jaar en tien maanden)
6545 Niets
10590 (29 jaar)
Saturnus
(29 jaar en vijf maanden)
17135 Niets
27725 (76 jaar)
Uranus
(84 jaar)
44860 Niets
72585 (199 jaar)
Neptunus
(165 jaar), Pluto (248 jaar)
Aardig toevallig, zeg maar. Souriau bestudeert vervolgens de resonanties tussen de planeten. Daarvoor moet men een test beschikbaar hebben die meet of de verhouding x van twee omlooptijden, tussen nul en 1, "dicht bij" een breuk is:
Er is al lang zo'n test ontwikkeld door wiskundigen (Liouville, Hurwitz, Borel, etc). Het gaat om het getal:
q
( x , q) = (noemer)
2 x I
x - q
IIn het kort, door
q
(x) zijn de ondergrens wanneer
q
door de verzameling van rationale getallen loopt,
q
is nul als x rationaal is, klein als x dicht bij een rationaal getal is; het meet dus de irrationale aard van x. De "meest irrationale" getallen zijn dan het gouden getal:
en zijn kwadraat:
w 2
= 1 -
w
= 0,3820...
Men kan dit vaststellen op de grafiek van de functie
q
Fig.1: Grafiek van de functie
q
met zijn twee pieken, die overeenkomen met de getallen die "minder resonant" zijn:
het gouden getal en zijn kwadraat.
Deze functie
q
(geen enkel verband met de waarnemingsgegevens) is een zuiver "wiskundig object", een eigenschap afgeleid van de rij van reële getallen. Deze continue rij scheidt dan een vreemd spectrum af, gevuld met soorten lege plekken (waar zich verhoudingen van gehele getallen, rationale getallen bevinden, waar
q
= 0).
Hieronder de omlooptijden van de belangrijkste planeten in het zonnestelsel, in jaren:
Mercurius: 0,2408425
Venus: 0,6151866
Aarde: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturnus: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptunus: 164,765
Pluto: 247,68
Let op het verschil tussen de omlooptijden van Pluto en Neptunus:
De verhouding van een term naar de volgende blijft tussen 1/3 en 2/3. Vijf van deze negen verhoudingen liggen tussen 0,35 en 0,40. Souriau begint dan met het bestuderen van de verhoudingen tussen de omlooptijden van verschillende planeten. Twee planeten in perfecte resonantie zouden een verhouding van hun omlooptijden geven die een rationaal getal is, de verhouding van twee gehele getallen.
Souriau besluit de verschillende resonanties in het huidige zonnestelsel te analyseren. Voor dit doel neemt hij de verhoudingen van de omlooptijden van de belangrijkste planeten, twee aan twee, en past de hierboven genoemde test toe.
Een eenvoudige berekening stelt hem in staat een lijst op te stellen van resonanties tussen de grote planeten (Ceres en Pallas zijn de grootste van de "kleine planeten" en hun omlooptijden verschillen slechts met 3 dagen en liggen in de asteroïdengordel), waarvan de test
q
kleiner is dan 0,1 (noemer ? 6):
Neptunus-Pluto: x = 2/3 x 0,9980
q
= 0,01
Uranus-Neptunus: x = 1/2 x 1,0199 q
= 0,04
Uranus-Pluto: x = 1/3 x 1,0176
q
= 0,05
Venus-Mars: x = 1/3 x 0,9812
q
= 0,06
Jupiter-Saturnus: x = 2/5 x 1,0067 q
= 0,07
Deze tabel toont aan dat de twee meest ver verwijderde planeten, Neptunus en Pluto, aanzienlijke resonanties vertonen. Ze vormen dus een "speciaal paar" ten opzichte van de andere en Souriau besluit ze in de komende analyse te negeren, door een Fourier-analyse van de omlooptijden uit te voeren:
Pj zijn de omlooptijden van de planeten, van Mercurius tot Uranus. De opeenvolgende verhoudingen van de omlooptijden liggen tussen 1/3 en 2/3. De volgende figuur geeft de vorm van de functie IF(a)I weer voor a tussen 1/3 en 2/3. Voor duidelijkheid heeft Souriau IF(a)I op het diagram geplaatst
4
.
Figuur 2: Functie F(a)
Twee significante pieken verschijnen voor de waarden 0,615 en 0,380, in precieze overeenkomst met de pieken van figuur 1 (
w
= 0,618 en
w 2
= 0,380). Souriau legt dan dit spectrum over de functie
q
:
Figuur 3.
en concludeert dat er een globaal effect van niet-resonantie is, met uitzondering van het resonante paar Neptunus-Pluto. De faseverschuiving van F tussen de twee pieken kan worden geïnterpreteerd via de inverse Fourier-transformatie: vanaf een bepaald aantal lijnen ak geselecteerd in het spectrum F bouwt men de functie F:
De waarden van Pj zijn dan dicht bij bepaalde maxima van de reële deel van F. Souriau beperkt dan dit spectrum tot de twee lijnen a1 =
w
en a2 =
w 2
en verkrijgt de grafiek van de volgende figuur, waarin ook de werkelijke omlooptijden van de planeten zijn opgenomen.
Figuur 4: Mogelijke positie van de planeten op basis van een spectrum gebaseerd op de twee lijnen
w
en
w 2