f5101

Een analytische weergave van de Boyoppervlak

J.P. Petit en J. Souriau

.

Hieronder een afbeelding van een notitie in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences van Parijs, ondertekend door J.P. Petit en J. Souriau, uit 1981.

Dit werk heeft een geschiedenis. Totdat mijn album Topologicon, uitgegeven door Belin in de serie Aventures d'Anselme Lanturlu, in 1985 verscheen, waren er in vakliteratuur weinig weergaven van het Boyoppervlak. Hier en daar vond men foto’s van modellen gemaakt van gips of kippenkooi. Charles Pugh van de afdeling wiskunde van de universiteit van Berkeley is wereldwijd de onbetwiste expert op het gebied van kippenkooi. Hij kreeg zelfs een belangrijke prijs voor zijn werk, toen hij de modellen maakte die het omkeren van de bol volgens Bernard Morin beschreven, modellen die vervolgens digitaliseerden door Nelson Max, om een film te maken die in alle wiskundestudies over de wereld te vinden is.

Maar ik vind dat kippenkooi een weinig nobel materiaal is, vooral voor zulke hoogwaardige wetenschappelijke onderwerpen. Nadat ik kennis had gemaakt met een plastisch kunstenaar genaamd Max Sauze, leerde ik de techniek van het koperen draad, zowel soepel als stijf, dat Max met vakkundigheid solderde, zonder het te veel te verwarmen, zodat er geen ongewenste spanningen in het materiaal ontstonden.

Mijn vriend Jacques Boulier, alias Vasselin, was destijds docent aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Een jaar stelde hij voor dat ik een van zijn collega’s zou vervangen die naar het buitenland was vertrokken, wat ik deed, met een halve functie samen met Sauze. Terwijl ik de objecten bedacht, solderde Max ze. Onze studenten, rond ons heen lopend, nieuwsgierig, probeerden ons zo goed mogelijk na te doen. Dat jaar was een vleugel van de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence een soort productiefabriek geworden voor wiskundige oppervlakken.

Als je er zelf aan wilt beginnen, is het niet moeilijk. Je hebt een rol koperen draad nodig, bijvoorbeeld van een diameter van anderhalve millimeter, maximaal twee, en een schaar. Daarmee kun je de twee families van krommen weergeven die elk oppervlak vormen.

Het probleem is om deze objecten goed te vormen. Daarbij is het handig om de verbindingspunten, waar de meridianen en parallelen elkaar snijden, te kunnen laten glijden. Een goede oplossing is om de twee metalen draden eenvoudig met naald- en garen te binden. Het is stevig genoeg om het object stevig te houden, maar ook voldoende glad om vervormingen en aanpassingen mogelijk te maken.

Pas wanneer je denkt dat het object wiskundig voldoet aan je wensen, kun je het overhandigen aan iemand die met vakkundigheid zilverlont gebruikt en weet te solderen zonder de staven te verhitten, zoals Max met meesterlijke vaardigheid kon doen.

Op een dag bracht ik een prototype van het Boyoppervlak mee, nadat ik had ontdekt hoe de meridianen en parallelen moesten worden geplaatst. Apparent kon men ervoor zorgen dat de meridianen eruitzagen als onmiskenbare ellipsen.

Max kopieerde het object zorgvuldig. Ik ging toen naar Souriau. Zijn zoon (die nooit de geduld had om zijn natuurkundestudie af te maken) speelde met de Apple II van zijn vader. Ik zei tegen hem:

• Jérôme,
  wil je graag een puur wiskundig artikel op je naam hebben?

• Waarom niet?
  Wie moet ik daarvoor doden?

• Niemand. Kijk naar dit object. Neem een geodriehoek, meet deze ellipsen en probeer een semi-empirische weergave van dit oppervlak te bouwen.

• We kunnen het proberen,
  geef maar...

Twee dagen later was het klaar. Het artikel werd snel geaccepteerd in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences van Parijs en gepubliceerd onder onze twee namen: J.P. Petit en J. Souriau.

Maar omdat de vader Jean-Marie heet en de zoon Jérôme, zijn alle wiskundigen ervan overtuigd dat dit werk samen door Souriau senior en ik is gemaakt.

De computerweergave van het oppervlak, met een klein BASIC-programma van een paar regels, verbaasde vele wiskundigen die verwachtten dat het ingewikkelder zou zijn. Het had een onaangename uitwerking. De wiskundige Bernard Morin had een doctoraatsstudent, Apéry, zoon van Apéry-père, de auteur van het onvergetelijke theorema dat de som van de derdemachten van gehele getallen een irrationaal getal is. Enzovoort...

Ik wist het niet. Onze vooruitgang maakte Morin erg ongerust, vooral omdat ik hem toen naïef vertelde dat deze methode ook zou kunnen worden gebruikt om het oppervlak met vier oren te beschrijven, dat hem beroemd had gemaakt, het oppervlak dat Pugh met kippenkooi had gebouwd, dat vervolgens door Max was digitaliseerd, enzovoort.

Morin fronste zijn wenkbrauwen:

• Nee, dat is onmogelijk! ...

Dat zullen we later zien. Ik blijf ervan overtuigd dat het wel mogelijk is. Maar deze zin was het tegenovergestelde van de beroemde uitspraak van Archimedes tegen de Romeinse soldaat die hem stoorde in zijn overpeinzingen – Noli tangere circuleos meos!

In het Frans: "Raak mijn cirkels niet aan!"

Hier was het eerder: "Raak mijn ellipsen niet aan!"

Later exploiteerde Apéry mijn ontdekking, dat het Boyoppervlak kon worden uitgerust met een systeem van elliptische meridianen, om de eerste impliciete vergelijking van het object te construeren:

f(x,y,z) = 0

Morin, woedend dat ik in zijn eigen wiskundige werk als een opstandige verscheen, dwong Apéry in zijn proefschrift te vermelden dat Sauze de ellipsen had gevonden. Max ontkende het niet, maar het is onjuist. De bewijsvoering is in mijn kelder: de maquette die ik aan Max gaf om hem netjes te maken.

Tenslotte is dit allemaal een beetje belachelijk. Deze anekdote dient om aan te tonen dat wiskundigen niet slimmer zijn dan natuurkundigen.

De polytechnicus Colonna, pionier op het gebied van computerbeelden, gebruikte al onze vergelijkingen zonder de oorsprong te vermelden. Maar er is een leuke details: als je op een scherm beelden van het Boyoppervlak ziet, en het is "ons" oppervlak, dan zullen er onvermijdelijk drie lichte "plooien" dicht bij de pool zichtbaar zijn. Een fout in de aanpassing van de vergelijkingen. Jérôme, zoon van Souriau, had het snel gedaan, en een laatste klein beetje metaal, vlak bij de pool, had nog wel kunnen helpen. Dat is trouwens nog steeds mogelijk voor wie het wil.

De geschiedenis van het Boyoppervlak is nog niet afgerond. Om compleet te zijn, noem een persoon: Carlo Bonomi, een Italiaanse miljardair. Ik had hem leren kennen tijdens een expeditie naar het Bermuda-driehoek (maar dat is een heel andere geschiedenis). We voeren toen met hoge snelheid over zijn luxe jacht, een schitterend schip, op zoek naar een verzonken piramide, die werd genoemd door Charles Berlitz in een van zijn boeken. We vonden de piramide niet, en we werden bijna opgegeten door de talloze haaien die deze plek bevolkten. Als je een atlas hebt, dan is de plek waar die vervloekte "Atlantische Piramide" zou moeten liggen, zuid-oostelijk van een rif genaamd Cay Sal Balk, op vijftig mijl ten zuiden van Cuba.

Tussen duiken en luxe dineren met kaviaar stelde ik Bonomi voor om een intensieve productie van Boyoppervlakken te sponsoren. De idee beviel hem, en er volgde een vervolg. Zeg maar dat het Boyoppervlak dat de wiskundesalon van het Palais de la Découverte in Parijs versiert, werd betaald door Bonomi en gemaakt door Sauze. De financier overwoog een tentoonstelling te organiseren waarbij de objecten in massief goud werden gemaakt. Maar het bleef bij een idee. Verbaasd over zijn lange stilte belde ik zijn kantoren in Milaan. Helaas, betrokken bij de P2-affaire, was hij opgesloten, en zijn interesse voor topologie had daar onherstelbaar onder geleden.

De dubbelbladige omsluiting van een Boyoppervlak, de afbeelding van het projectieve vlak P2, is een bol S2 (zie Topologicon). Pugh heeft deze omsluiting gemaakt met twee lagen kippenkooi, een opmerkelijk object, hoewel ik persoonlijk het koperen draad en de meridiaan-parallelweergave nog steeds prefer. Maar ook in de zuivere wiskunde geldt:

• De smaak is niet te bespreken.

Voordat we de notitie presenteren, nog een laatste anekdote. Charles Pugh had dus zeven modellen gemaakt van kippenkooi, wat hem een belangrijke prijs opleverde, waarin de opeenvolgende stappen van het omkeren van de bol werden beschreven, waarover ik later zal vertellen als ik vijf minuten vind om het op de website te plaatsen, en die aan het plafond van de cafetaria van de afdeling wiskunde van de universiteit van Berkeley waren opgehangen.

Wiskundigen over de hele wereld kwamen dan op pelgrimage om zich te bewonderen voor deze uitstekende reeks. Maar één nacht werden de modellen gestolen en niemand weet wat er met de zeven objecten is gebeurd, die verder onverkooibaar waren. Welke opkoper zou zoiets accepteren? Tenzij een rijke amateur, half esthetisch, half wiskundig, het project had gefinancierd, om ze in een geheime bunker op te bergen, alleen om te kunnen genieten van het feit dat hij de enige man was die dit achtste wonder van de wereld kon bewonderen, zelfs als het gemaakt was van kippenkooi.

Pugh, ondanks zijn beheersing van het materiaal, had de moed niet om een nieuwe serie te beginnen.

Zoals we al eerder op de site zeiden, blijft het leven van Werner Boy een mysterie. Na het bedenken van het oppervlak dat zijn naam zou dragen, verdween hij letterlijk na zijn vertrek van de universiteit. Ondanks zijn onderzoek kon Hilbert zijn spoor niet terugvinden, en zelfs zijn graf is onbekend.

Laten we nu terugkeren naar de wiskunde. De notitie hieronder is relatief makkelijk te lezen. Vanaf formule 1 tot en met 8 kan elke wakker geworden middelbare scholier mooie afbeeldingen maken en controleren of de doorsneden overeenkomen met figuur 5.

C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 oktober 1981) Série 1 - 269

GEOMETRIE. - Een analytische weergave van het Boyoppervlak. Notitie van Jean-Pierre Petit en Jérôme Souriau, voorgelegd door André Lichnérowicz.

Er wordt een analytische weergave van het Boyoppervlak gepresenteerd, die het mogelijk maakt om dit te tekenen.

1. INLEIDING.

Het oppervlak dat in 1901 werd uitgevonden door de wiskundige Werner Boy, leerling van Hilbert, is bekend bij wiskundigen. Het kan een centrale rol spelen bij het omkeren van de bol (zie [1] en [2]).

In 1979 (J.P.P.) had een model gemaakt van metaaldraad, waarin de posities van de meridianen van het oppervlak werden benadrukt. Een tweede werk uit 1980, uitgevoerd samen met de beeldhouwer Max Sauze, stelde ons in staat een tweede model te reconstrueren waarin de krommen in vlakken lagen en er vrijwel uiterst veel op ellipsen leken. Vanaf zo’n model leek het mogelijk een analytische weergave te bouwen van een oppervlak met de topologie van het Boyoppervlak, waarbij de meridianen ellipsen zijn die door een enkele pool gaan.

2. HET OPBOUWEN VAN HET BOYOPPERVLAK MET ELLIPSEN.

Plaats de pool in de oorsprong van de coördinaten. Op dat punt is het oppervlak raak aan het vlak (XOY). Het heeft dus de OZ-as als drie-achtige symmetrieas (zie figuur 1). De meridiaankrommen zijn dus ellipsen in vlakken Pm. Laat OX1 de snijlijn zijn van vlak Pm met het vlak XOY. Noem m de hoek (OX, OX1). Plaats in dit vlak Pm een tweede as OZ1 loodrecht op OX1. Noem a de hoek (OZ, OZ1).

Figuur 1 en Figuur 2

Het eerste parameter van deze analytische weergave is de hoek

m

. We beschouwen de hoek

a

als een functie van

m

(deze zal later worden gedefinieerd). In het vlak Pm tekenen we nu een ellips die in O raakt aan OX1 (zie figuur 2). We nemen de assen van deze ellips evenwijdig aan de bisectrices van X1OZ1. Noem A(m) en B(m) de waarden van de assen van deze ellips. Deze ellips Em wordt gegenereerd door een tweede vrije parameter

q

.

Samengevat

, krijgen we de coördinaten X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) van het punt op het oppervlak.

In deze semi-empirische aanpak gaven metingen van (J.S.) op het model een benadering van de functies

a(m), A(m) en B(m). Het oppervlak werd vervolgens getekend op een computer "Apple-II" en we verkregen doorsneden bij Z = constant. Het onderzoek van deze doorsneden stelde ons in staat de topologische identiteit met het Boyoppervlak te bepalen. Dit kon alleen worden bereikt door numerieke experimentatie (J.S.), die het mogelijk maakte om paring van parasitele singulariteiten (het verschijnen van paren van cuspidale punten) te elimineren.

Wij kozen:

(1)

A(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)

(2)

B(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)

(3)

In het assenstelsel X1 O Z1 zijn de coördinaten van het middelpunt van de ellips Em:

(4)

(5)

In ditzelfde assenstelsel zijn de coördinaten van het punt op de ellips:

(6)

(7)

en de coördinaten x, y, z worden gegeven door:

(8)