Hoe een Cross Cap-oppervlak te transformeren
tot een Boy-oppervlak (links of rechts, naar keuze)
via het Steiner-romische oppervlak.
Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
27 september - 25 oktober 2003
pagina 2
Hier is een "Cross Cap"-oppervlak (zoals je het zou ontdekken in virtuele realiteit-afbeeldingen). Het heeft twee spitspunten die de hoekpunten zijn van een zelfintersectielijn. Je kunt het maken door een ballon met haakjes te knijpen. Maar je kunt ook poliedrische representaties ervan bouwen. Die hieronder is bijzonder interessant voor ons.
In tabel 4 staat het moeilijkste om te leren. Het lijkt me onmogelijk dat iemand deze objecten goed begrijpt door alleen naar afbeeldingen te kijken. Bouw modellen. Met andere woorden, trek het spitspunt
C 2
naar "binnen het oppervlak" (wat, tussen haakjes, geen zin heeft omdat je ongetwijfeld al hebt opgemerkt dat het Cross Cap-oppervlak eenzijdig is: het heeft geen buiten- en binnenkant). Door door te trekken, "doet het oppervlak zichzelf doorsnijden", en de zelfintersectie wordt afgerond met een achtvormige curve. Er ontstaat per ongeluk een drievoudig punt
T.
Het oppervlak is duidelijker in zijn poliedrische vorm, en hieronder hebben we bepaalde elementen vergroot om aan te tonen waarom we dit object willen transformeren naar het romische Steiner-oppervlak (zie de virtuele realiteit-simulatie), waarvan de eenvoudigste poliedrische vorm bestaat uit vier gekoppelde kubussen (hier zijn er maar drie zichtbaar).
Tabel 5: links poliedrisch, rechts ronder. De pijl gaat door het punt dat we gaan "drukken". Onderaan zie je het begin van de drukbeweging.
Tabel 6: de drukbeweging is voltooid en creëert een singulier punt
B. In feite, omdat we aan beide kanten tegelijk drukken (om tijd te besparen), ontstaan twee singuliere punten
S1 en
S1, daarna twee spitspunten. Op dit punt heb je hulp nodig van karton, scharen en plakband.
Tabel 7: hier hebben we alleen de verschillende spitspunten verplaatst. Als punt
C2 "duidelijk" is, zul je meer moeite hebben met het identificeren van de punten
C3 en C4 als spitspunten. Toch zijn ze er, aan de uiteinden van een zelfintersectielijn. Boven punt
C3 bevindt zich simpelweg wat ik een "posicono" noem, een punt waar positieve kromming geconcentreerd is (een punt waar negatieve kromming geconcentreerd is noem ik een "negacono"). Door dit object een beetje te vervormen, kom je uit op de poliedrische vorm van het romische Steiner-oppervlak (bedacht door Steiner in Rome; zie de virtuele realiteit-illustratie).
Dus het spel is gespeeld. Er zijn verschillende soorten oppervlakken, afhankelijk van de regels die je stelt. Oppervlakken die zichzelf niet snijden heten "embeddings" (van de bol of de torus in
R3). Wanneer ze wel zelfsnijden, maar het raakvlak continu varieert zonder te degenereren, heten ze
immersionen
. Bijvoorbeeld: de Klein-fles, in haar klassieke representatie. In
R3 bestaat er geen representatie van de Klein-fles als embedding: hij moet zichzelf noodzakelijkerwijs snijden. Immersionen hebben zelfintersecties zonder spitspunten. Deze zelfintersecties zijn continue krommen, maar kunnen in dubbele of drievoudige punten kruisen. Opmerking: de bol kan worden geïmplementeerd als een immersie (die geen embedding is) door hem zelf te laten snijden. Dit is eigenlijk de manier waarop je hem kunt omdraaien (zie het methode van A. Phillips, 1967, waarbij het centrale onderdeel het dubbele overdekking van een Boy-oppervlak is; zie ook B. Morin en J.P. Petit, 1979, waarin het centrale model het "vier-oren"-model van Morin is, dat hieronder in poliedrische vorm wordt getoond – ik heb dit model ongeveer tien jaar geleden bedacht).
Montageplan van dit object met papier en schaar
Als je de spelregels uitbreidt door ook spitspunten toe te laten, krijg je
summersionen
(de Cross Cap, het romische Steiner-oppervlak). Ik weet niet of "summersion" het juiste woord is, maar omdat ik geen wiskundige kon vinden die me hierover verduidelijking gaf, vond ik het leuk om er zelf een te bedenken, tenminste tijdelijk tot een ervaren meetkundige zich meldt. Dus het Cross Cap-oppervlak en het romische Steiner-oppervlak zijn beide summersionen van het "projectieve vlak".
Om eerlijk te zijn: na vijfentwintig jaar activiteit en mijn teleurstellingen op het gebied van magnetohydrodynamica, had ik deze werkzaamheden begonnen omdat ze me leken af te wijken van elke militaire toepassing. Maar zoals mijn oude vriend Mihn me opmerkte, zou het woord "summersion" misverstanden kunnen veroorzaken en de marine kunnen doen denken dat ik via deze onderzoeken pogingen doe om vooruitgang op het gebied van onderzeeër-aandrijving te verbergen.
De regel van "creatie-ontbinding" van paar spitspunten stelt ons in staat van een summersion van een object naar een andere te gaan, en dat hebben we zojuist gedaan, aantonend dat het Cross Cap-oppervlak en het romische Steiner-oppervlak twee summersionen zijn van hetzelfde object, bekend als
het projectieve vlak.
Probeer niet een "projectief vlak" voor te stellen. Dit object kan alleen worden begrepen via verschillende representaties. Wat betreft het woord "projectief": het is slechts één van de duizenden termen die wiskundigen hebben bedacht om mensen af te schrikken die willen doordringen tot hun gesloten kring. Zanichelli zal je in de wiskunde geen enkele hulp zijn.
Wat ons nog resteert, is hoe we kunnen overstappen naar het Boy-oppervlak, dat een immersie van het projectieve vlak is.
Vorige pagina
Volgende pagina
Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"
Terug naar sectie Nieuws
Terug naar sectie Gids
Terug naar Hoofdpagina
Aantal bezoeken sinds 25 oktober 2003