Hoe te veranderen een crosscap in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze) via het Romeinse oppervlak van Steiner.
13 september 2003
pagina 4
Dan wordt het model onder een ander hoek getoond:
Plaat 14: Hetzelfde proces wordt herhaald door de derde "oorschelp" van de zelfintersectiecurve te creëren. In polyhedraal heeft deze de vorm van drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudig punt
T.
Plaat 15: Door het object te draaien, vindt u terug de polyhedrale versie van het Boy-oppervlak dat ik had aangemoedigd en gepresenteerd in het Topologicon (waar een snijding is opgenomen die het bouwen ervan mogelijk maakt).
Laatste plaat: ik heb geprobeerd het oppervlak van Steiner (van de vierde graad, terwijl de Boy van de zesde graad is) te illustreren terwijl het zich contort en verandert in een Boy-oppervlak.
Men ziet dat het in "rondouillard" een flinke ervaring vereist om het object te begrijpen. Ons oog is erg ongemakkelijk wanneer het moet begrijpen een object waarop op een en dezelfde zichtlijn meer dan twee lagen op elkaar liggen. Daarom is het nuttig om het polyhedrale model, dat het mogelijk maakt voor het gewone publiek om de veranderingen te begrijpen die in de meetkunde als geavanceerd worden beschouwd, mits mensen het moed hebben om de modellen zelf te bouwen. Tijdens de passage merkt men op dat, afhankelijk van de gekozen cusp-paren, men een "rechter" of "linker" Boy-oppervlak verkrijgt (volledig willekeurige termen). Het projectieve vlak wordt geïmmergeerd in twee "enantio-geïmmerseerde" representaties, in spiegelbeeld. Men ziet dat men van een rechter Boy-oppervlak naar een linker Boy-oppervlak kan gaan via een "centraal" model, het Romeinse oppervlak van Steiner.
Het zou waarschijnlijk aangenaam zijn als dergelijke tekeningen in Pour la Science of La Recherche zouden verschijnen. Maar de afgelopen twintig jaar ben ik verbannen uit deze tijdschriften vanwege oogst- of vliegende schoteldeviatie. Dank u, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik tel niet meer de artikelen van deze soort die ik aan deze tijdschriften heb gestuurd en die me beleefd zijn teruggestuurd. Uiteindelijk gewend aan je status als uitgesloten persoon.
Als anekdote bestaat er in Frankrijk een "Alembert-prijs" die bedoeld is om auteurs van wiskundige popularisatieboeken te belonen. De geschiedenis is me verteld door een lid van de commissie die bepaalde wie de prijs moest krijgen (er zijn toch een paar munten in het spel). Dialoog:
-
Maar goed, kunnen we niet de prijs geven aan Petit? Hij heeft merkwaardige werken geschreven zoals het Géométricon, het Zwarte Gat en het Topologicon.
-
Ja, maar hij heeft niet alleen deze albums gedaan.
-
Waar doel je op?
-
Hij heeft ook het "Mur du Silence" geschreven.
-
Ah, in dat geval....
Ja, het "Mur du Silence", verschenen in '83, is een album gewijd aan de MHD. En, zoals iedereen weet, heeft deze wetenschap de eigenschap, of de listigheid, om vliegende schotels te laten vliegen met supersone snelheid zonder een knal te maken.
Verberg deze wetenschap, dat ik het niet zie
Ik heb in mijn kast een versie van het "omkeren van de kubus" dat prachtig is met een centraal model van ongekende schoonheid, dat niet de polyhedrale versie van de Morin-variant is. Alles van mijn kant. Op een dag of andere.....
22 oktober 2003
: Op deze pagina's duwt niemand zich op, zo te zien aan het tellergetal. Ik heb op 13 oktober 2003 een seminar gegeven aan het CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) uitgenodigd door Trotman. Tijdens de gelegenheid kon ik een collectie van ongeveer dertig kartonnen modellen opstellen, die u binnenkort in het oog zult vallen, deze zijn gefotografeerd door Christophe Tardy.
Bij het geven van een seminar ontstaat een bepaalde sfeer. Op de volgende foto is een meetkundige te zien die zijn verwarring uitdrukt.
In de achtergrond is een deel van de tentoongestellende modellen zichtbaar. Op een bepaald moment stelde ik de vraag:
- Wie heeft er al een Romeinse oppervlak van Steiner gezien? Hef je hand op.
Niemand had er ooit van gehoord. Dus besloot ik het object, in werkelijkheid virtueel, te presenteren op de laptop die ik had meegenomen, gemaakt in samenwerking met Christophe Tardy, ingenieur, en Frédéric Descamp van het Instituut Laue Langevin van Grenoble (ILL). Duidelijk verward de publieke, weinig gewend om wiskundige oppervlakken vrij te laten vliegen.
Twee kartonnen panelen, zichtbaar in het voorste deel, hadden het volgende gevolg van modellen in hun logische volgorde. De modellen "groen en geel" illustreren, in polyhedraal, het essentiële gereedschap voor het creëren of vernietigen van een paar cusp-punten. Het witte object verder weg is een polyhedrale versie van de Cross Cap, dat eerst verandert in een polyhedrale versie van het Romeinse oppervlak van Steiner, een meter verder, en vervolgens op willekeurige manier in een "rechter" of "linker" Boy-oppervlak.
De analyse van de modellen leidde tot verschillende opmerkingen in het publiek. Een van de meetkundigen vroeg:
- Als je de modellen in deze richting volgt, kun je van de Cross Cap naar de Boy gaan, lijkt het erop dat je in het omgekeerde geval een Boy kunt transformeren in een Cross Cap.
Ik antwoordde bevestigend. Aangemoedigd, zei mijn gesprekspartner:
- Als je bij het stadium van het Romeinse oppervlak van Steiner stopt, is het mogelijk om terug te keren naar een spiegelbeeld van het Boy-oppervlak.
Ik beaamde opnieuw. Maar helaas zal niemand zich melden om uitleg te geven over deze vreemde wereld waarin gesloten oppervlakken worden uitgerust met cusp-punten, die in paren worden gecreëerd of vernietigd, het geheel vormend een soort uitbreiding van het wereldje van de immersies. Het woord "submersies" lijkt me passend. Als een lezer op zoek is naar uitleg, is die welkom.
Gecentreerde kromming in een cusp-punt
Deze berekenen we door de hoeken op het hoekpunt op te tellen en deze som te vergelijken met de Euclidische som: 2
p
.
Aan de bovenkant en links is een van de meerdere polyhedrale representaties van het cusp-punt afgebeeld. Het "ontleden" van het object (aan de rechterkant) leidt tot een som die de Euclidische som 2
p
overtreft met een waarde 2
a
. Hieruit volgt dat de gecentreerde hoekkromming in de buurt van dit punt C gelijk is aan - 2
a
. Als de hoek a gelijk is aan
p
/2, dan is de negatieve kromming gelijk aan
c
(afbeelding aan de onderkant en links). In werkelijkheid kan de gecentreerde kromming in een cusp-punt oneindig veel waarden aannemen. Aan de onderkant en rechts versterken we de hoeksom en de kromming wordt dan < 2
a
. We versterken de negatieve kromming.
Door het omgekeerde te doen, kunnen we terechtkomen in een vrij verrassende situatie: zorgen dat de (hoek)kromming in C ... nul is:
We kunnen nu beginnen met een polyhedrale representatie van de Crosscap met twee cusp-punten, elk met een negatieve kromming gelijk aan
- p
:
Er zijn acht "posicoins" die overeenkomen met een waarde +
p
/2. Voeg vier andere "posicoins" met kromming +
p
/4 toe en vier "negacoins" met kromming -
p /4 P
plus de twee cusp-punten met kromming
- p
.
Totaal: 2
p E
n delen deze totale kromming door 2 p, dan vinden we de Euler-Poincaré karakteristiek van alle representaties van het projectieve vlak (zoals het Boy-oppervlak).
Tijdens mijn voordracht heb ik het kunst en de manier besproken om de twee cusp-punten van een Cross Cap te wisselen, gebruikmakend van het omkeren van de bol. Ik weet niet of ik dat ergens op mijn site heb gezet. Het is zo'n chaos. Ik moet erop zoeken, anders zet ik het ergens neer. Het is vrij amusant. Hoe dan ook, deze prestatie beviel niet aan een van de aanwezigen tijdens het seminar.
- Ik begrijp niet waarom Petit gebruik maakt van zulke apparatuur om de symmetrie te demonstreren die de twee cusp-punten van een Cross Cap verbindt. Het is veel eenvoudiger.
En hij tekende op het bord het beeld van een geplette bol met twee stokjes die worden verbonden en die in werkelijkheid een zelfintersectie-geheel vormen in de vorm van een segment begrensd door twee cusp-punten, zoals bij de Cross Cap. Helaas, en onze man merkte het op, het is geen Cross Cap.
- Dus, wat is het dan? Vroeg iemand.
Het is gewoon een bol, met twee cusp-punten. Als we ze samenvoegen, krijgen we een zelfintersectie-lijn die dan een gewone cirkel wordt. En we krijgen in de onderkant en links (in doorsnede) een immersie van de bol die we alleen nog maar hoeven te transformeren naar zijn plonging. We kunnen ook overgaan naar een polyhedrale representatie van dit oppervlak:
Het is tweezijdig en de kromming is 2
p
.
We kunnen dus veel plezier maken met deze "submersies". Neem een immersie van een torus die bestaat uit het draaien van het teken "oneindig" of een "acht" rond een as.
De techniek van het samenvloeien van de cusp-punten zal ons snel naar de standaardplonging van de torus leiden, zoals aangegeven in de volgende afbeeldingen.
Maar soms zijn dingen niet zo eenvoudig en duidelijk. Neem bijvoorbeeld een bol die ik tussen twee segmenten druk, die deze keer een lengte hebben kleiner dan de diameter. We krijgen nog steeds twee cusp-punten.
Aangezien we er een Möbiusband in kunnen inschrijven, is dit oppervlak eenzijdig. Er is een polyhedrale representatie van dit oppervlak getoond, die het mogelijk maakt om de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik me niet vergis, zou het dan een Klein-fles zijn. In het algemeen kent men alleen de meest klassieke immersie waarbij de zelfintersectie-lijn een gewone cirkel is. Maar er zijn ook andere, zoals deze. Ik geef toe dat ik nog niet heb gevonden hoe ik het object hierboven kan transformeren in een immersie van de Klein-fles. Ik weet trouwens niet of de verschillende immersies tot hetzelfde homotopie-groep behoren (de bol heeft er maar één). A priori niet, want de torus kan op vier verschillende manieren worden geïmmergeerd, die niet door een reguliere homotopie met elkaar kunnen worden verbonden. Totdat ik me heb vermaakt met het transformeren van dit oppervlak door twee extra cusp-punten te creëren en zo krijgen we dan twee Cross Caps die zijn verbonden door een buis. Door ze te snijden vinden we terug een Euler-Poincaré karakteristiek gelijk aan nul.
Deze "vreemde oppervlak" zou moeten kunnen worden getransformeerd in een van de immersies van de Klein-fles. Maar welke? In ieder geval is hier een verkregen door het "acht" rond een as te draaien en er tegelijkertijd een halve draai aan toe te voegen:
Vorige pagina
Terug naar de inhoudsopgave "Verandering van een Cross Cap naar Boy"