Het centrale model van de bolomkeer
31 dec 2001
U hebt allemaal gezien hoe een vreemd object onafgebroken draait op de linkerkant van de startpagina van de site. Wat is het?
Eens, als ik de tijd heb, zal ik op de site een beschrijving van de bolomkeer plaatsen, zoals ik die had geïllustreerd in het nummer van januari 1979 van Pour la science, dat wil zeggen ... 22 jaar geleden. Dit zou natuurlijk veel details en een inleiding vereisen. Wat betekent het om een bol om te keren? Een bol heeft niet dezelfde betekenis voor een gewone persoon en een wiskundige-geometer. Voor de gewone persoon is het een verzameling punten op een afstand R van een vast punt O in een driedimensionale ruimte. Een meetkundige blijft "bol" noemen wat een "gevormde bol" of een soort "aardappel" zou zijn. Om deze concepten nauwkeuriger te begrijpen, kijk naar de CD Lanturlu met de strip "Le Topologicon". Maar de wiskundige gaat verder. Wanneer een oppervlak "regelmatig" wordt genoemd, kan in elk punt van dat oppervlak een raakvlak worden gedefinieerd. Dit maakt het al mogelijk om oneindig veel vervormingen van de "oorspronkelijke bol" in oneindig veel aardappels te overwegen, waarbij de oppervlakte van het genoemde oppervlak willekeurig kan zijn. In een "fysiek universum" zou iemand die deze bol vervormt, tegen de onmogelijkheid aanlopen om deze zelf te doorboren. Als deze doorboringen of zelfs contacten verboden zijn, spreekt men dan van
plongements van de bol S2
. Maar een wiskundige geeft zich alle rechten. Voor hem is een bol een "virtueel" object waarin doorboringen van lagen mogelijk zijn. De onderstaande tekeningen tonen een bol die zich "zelf doorboort". Deze representatie van de bol noemt men dan een
immersie
.
Een immersie heeft een
verzameling van zelfintersecties
of
self-intersections
(hier een eenvoudige cirkelvormige curve). Het raakvlak moet continu variëren. Aangezien we de bovenstaande tekeningen bekijken, zien we dat de operatie een deel (weergegeven in groen) van de binnenkant van de bol naar buiten draait. Om zo'n omkeer te voltooien, zou men deze soort "buik" aan de evenaar moeten platdrukken. Dit lijkt op het eerste gezicht problematisch. Deze druk zou de continuïteit van het raakvlak verstoren. De operatie zou dus een fase bevatten die geen immersie is.
Eens, een Amerikaanse wiskundige, Stephen Smale, bewees dat "de bol S2 slechts één klasse van immersie heeft". Het gevolg van deze raadselachtige zin was dat men een reeks immersies van de bol kon opstellen die van de "standaardbol" naar haar "antipodale" representatie konden gaan, dat wil zeggen waarin alle punten vervangen zijn door hun antipode. Met andere woorden, een omgekeerde bol, voor- en achterkant. Raoul Bott was de mentor van Smale. Terwijl de bewijsvoering van de laatste, puur formeel, onfeilbaar leek, zag niemand hoe men de operatie moest uitvoeren. Bott zei steeds tegen Smale: "Laat me zien hoe je het zou aanpakken", waarop Smale, met zijn beroemde haar op zijn tong, antwoordde: "Ik heb er geen idee van". Smale kreeg later de Fields Medal, de wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Tijdens deze vermelding zult u zich misschien afvragen waarom Nobel nooit een Nobelprijs voor de wiskunde wilde creëren. Het antwoord is simpel: zijn vrouw is met een wiskundige vertrokken.
De dingen bleven jarenlang zo, totdat een Amerikaanse wiskundige, Anthony Phillips, in 1967 in Scientific American een eerste versie van deze omkeer publiceerde, verschrikkelijk ingewikkeld. De tweede werd in de vroege jaren zestig bedacht door de Franse wiskundige (blind) Bernard Morin. Ik was de eerste die deze reeks transformaties tekende, die ik al eerder zei, het onderwerp zal zijn van een volgende artikel op de site, vrij uitgebreid trouwens. Hetgeen ons leidt tot een bijzondere conclusie. Oppervlakken kunnen worden voorgesteld als
polyhedrale representaties. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als polyhedrale representaties van de bol, aangezien deze objecten dezelfde
topologie
hebben. In dit opzicht, raadpleeg mijn strip "Le Topologicon". Bovendien begrijpt men dat als het mogelijk is om een bol om te keren, het ook mogelijk is om een kubus om te keren. De transformatie bedacht door Bernard Morin (die ik heb geïllustreerd in het artikel van januari 1979 van Pour la science) gaat door een
centraal model
. Er is een symmetrie in deze reeks. Dit noemt men "het centrale model met vier oren". Hierbij voorbaat. Maar net zoals de bol kan worden voorgesteld als polyhedrale representaties, is dit ook mogelijk voor de opeenvolgende stappen van deze transformaties. Het object dat u ziet draaien op mijn startpagina is dus de polyhedrale versie van het centrale model van de bolomkeer, een model dat ik ongeveer tien jaar geleden bedacht heb. Het voordeel van deze polyhedrale modellen is dat ze met vlakke oppervlakken kunnen worden gemaakt. Ze kunnen zelfs op verschillende snijdingen worden geplaatst. Kijk naar de onderstaande tekening (ik dank hierbij mijn vriend Christophe Tardy, die de correct gecoteerde elementen heeft gemaakt).
Dit is een tekening die op je printer komt in klein formaat, onbruikbaar.
Om deze figuur op A4 te printen
moet je er vier kopieën maken op dik papier A4, twee bladen van één kleur, twee bladen van een andere
Dit is een snijding waarvan u hier een algemeen beeld krijgt. Maar om te printen is het beter dat u naar de pagina
snijding
gaat. Print die. Vervolgens, met dit exemplaar dat je op het normale papier van je printer hebt, ga je naar een kopieerwinkel en maak je vier identieke kopieën van deze tekening,
twee op bladzijden van groen karton
en twee op gele. U kunt nu met behulp van deze snijding het centrale model van de kubusomkeer bouwen.
U heeft op deze gesneden elementen paren letters: a, b c, d, e, f etc.... Het voldoet om de vouwen uit te voeren door de dezelfde letters in overeenstemming te brengen, en deze vlakken met transparante plakband te verbinden. De onderstaande tekeningen laten zien hoe men één van de vier elementen moet monteren. Hier is eerst hoe men moet beginnen met het vouwen van één van de vier elementen:
Hier zijn twee van deze vier elementen, van verschillende hoeken gezien.
Deze worden vervolgens samengevoegd om een object met een vierde orde symmetrie of met afwisselende groene en gele elementen te vormen. Om dit in 3D te zien, kijk naar de realisaties van meneer Tardy in "virtual reality". Het volledig samengestelde centrale model is ook beschikbaar in "vrml" in deze sectie. Hier is dit object, van verschillende hoeken gezien:
Het is niet mogelijk om te zeggen dat één beeld "boven" en het andere "onder" is, aangezien deze benamingen volledig willekeurig zouden zijn. Op de linkerzijde is het "centrale" punt het "dubbele punt" (waar twee lagen elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt aan de rechterkant het "vierde punt" van hetzelfde model is (waar vier lagen elkaar kruisen). Ik heb het object zorgvuldig georiënteerd, zodat het linkertje niet op een kruis lijkt. Anders gezegd, architectonisch gezien, zou deze polyhedrale representatie van het centrale model van Morin een zeer goed project kunnen zijn voor een Nationale Sociale Cultuurhuis.
Laatste beeld:
Laatste opmerking: er bestaat geen goede polyhedrale representatie van de bolomkeer (of de kubusomkeer). Met "goed" wordt bedoeld een reeks modellen die voldoende duidelijk zijn en die relatief eenvoudig kunnen worden gemaakt via snijdingen, zoals het model hierboven. Er zou een onderzoek moeten worden gedaan in deze richting, wat binnen bereik is van iedereen, eventueel van een niet-wiskundige, een kunstenaar, bijvoorbeeld. Meer dan twintig jaar geleden was ik docent in beeldende kunst aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence, toen die nog werd geleid door mijn goede vriend Jacques Boullier. Het was in deze ruimtes dat de eerste zuidelijke representatie van de Boy-oppervlak werd gebouwd met ellipsen, de sleutel tot de constructie van de eerste impliciete vergelijking door Apéry. Ik moet zeggen dat ik op dat moment altijd verbaasd was over de geometrische fantasie van de kunststudenten, die vaak de geometrische fantasie ... van de meetkundigen overtrof.
Teller geïnitialiseerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen
:
