De omkering van de bol
7 december 2004
pagina 1
Inleiding.
In hetgeen volgt zullen we gesloten oppervlakken beschouwen, zoals de bol, de torus en een paar andere. Het zijn oppervlakken in de zin van de gewone man, dat wil zeggen objecten met twee dimensies die worden weergegeven in een driedimensionale euclidische ruimte, R3, die onze mentale representatiemogelijkheid is. Deze oppervlakken kunnen op verschillende manieren worden weergegeven. Als ze zichzelf niet doorsnijden, zeggen we dat ze
geïmmereerd zijn
(in R3). Als ze zich wel doorsnijden, spreken we van een
immersie
en deze doorsnijding komt dan tot uitdrukking in een
zelfdoorsnijdingsverzameling
(self-intersection).
Bij onze immersies nemen we aan dat het raakvlak continu varieert en dat het oppervlak geen singulariteiten kent, zoals bijvoorbeeld de top van een kegel. Onze oppervlakken zijn dus
regulier.
Bij immersies eisen we dat langs de lijnen van zelfdoorsnijding de twee raakvlakken van de oppervlakken die elkaar snijden, verschillend zijn.
De wereld van de meetkunde zoals de wiskundige die beleeft, verschilt sterk van de fysieke wereld. Het feit dat oppervlakken zichzelf kunnen doorsnijden, stelt hem niet in de steek. De fysieke wereld laat zoiets niet toe. Maar het is mogelijk in de metafysische wereld. Zo staat in de Bijbel dat wanneer de doden opstaan, zij zullen zijn als "verheerlijkte lichamen". Ze zullen dan door alles heen kunnen gaan en in theorie zelfs zichzelf kunnen doorsnijden. Dus wanneer de tijd van het laatste oordeel is aangebroken, en jij Rome wandelt in vorm van een verheerlijkt lichaam, en je verdwaald bent op zoek naar de Piazza Navona, dan zou je de weg kunnen vragen aan een ander opgestaan mens met dezelfde uiterlijke verschijning als jij. Stel dat de persoon die je aanspreekt in de tegenovergestelde richting loopt ten opzichte van die plek. In de gewone fysieke ruimte zou hij zich moeten omdraaien om met zijn vinger in die richting te wijzen. Maar als hij in vorm van een verheerlijkt lichaam wandelt, is die draaiing niet meer nodig. Hij kan met zijn vinger naar zijn navel wijzen en zichzelf doorsnijden. Wanneer zijn hand weer uit zijn rug komt, hoeft hij niets anders te doen dan zeggen: "Daarheen". Door zijn arm door zijn buik te steken heeft hij in zijn lichaam een zelfdoorsnijdingsverzameling gecreëerd bestaande uit twee cirkels, die verdwijnen wanneer hij zijn normale vorm herwint.
Als een mens de mond sluit, een wasknijper op zijn neus plaatst om deze te dichten en we afzien van zijn andere natuurlijke openingen, dan krijgt zijn lichaamshuid de topologie van de bol S2. Stel je een opgestaan wezen voor in vorm van een verheerlijkt lichaam waarbij alle natuurlijke openingen zijn afgesloten. We weten dat het zichzelf kan doorsnijden, dat wil zeggen dat zijn lichaamshuid van een geïmmereerde situatie naar een geïmmereerde situatie kan gaan. Een van de metafysische vragen die zich toen stelden was of een opgestaan mens in vorm van een verheerlijkt lichaam zichzelf kon omdraaien zonder plooien te maken.
Een kleine opmerking terzijde. Prestidigitatoren weten "magische cirkels" te gebruiken die op magische wijze door elkaar heen kunnen gaan. Men zou kunnen denken aan het weergeven van oppervlakken met een soort "magisch gaas", waarbij de twee bladen, hier één zwart en één roze, zonder moeite door elkaar heen kunnen gaan.
Het magische gaas
In elk geval moet men erkennen dat er vaak niet veel verschil is tussen wiskunde en magie. Ik ontwikkelde twintig jaar geleden een strip: de Topologicon. Die is nu uitverkocht en nergens te vinden, behalve als verzamelobject. Op één van de pagina’s stond dit:
Het is jammer dat uitgeverij Belin besloot deze collectie op te geven. Men moet wel zeggen dat met een productiekosten van maar iets meer dan één euro, de albums te verkopen voor 13 euro (plus verzending), via postorder, en daarmee een winstmarge van 12 euro te behalen, wat betekent dat de winst meer dan 92 procent van de verkoopprijs bedroeg, geen duidelijke commerciële strategie was, vooral niet voor zwart-wit.
Beschouw een bol S2 geïmmereerd in R3. We nemen aan dat zijn buitenkant grijs is en dat zijn binnenkant een oude roze kleur heeft. We kunnen op twee antipodale punten drukken, die we arbitrair "noordpool" en "zuidpool" noemen, totdat ze in contact komen in één punt. Dat kan men bijvoorbeeld doen met een gebakje. Als het gaat om een wiskundig gebakje (we weten niet of gebakjes opstaan of niet in vorm van verheerlijkt lichaam), kunnen de twee poolregio’s, na contact in één punt, zichzelf doorsnijden langs een zelfdoorsnijdingscurve die de vorm heeft van een cirkel. Vooraf zeggen we dat dit oppervlak een catastrofe van het type Do heeft ondergaan.
Men zou dan kunnen proberen het gebakje, de bol, om te keren door deze operatie voort te zetten. Maar dan ontstaat er een plooi die uitgroeit tot een lelijke vouw, of nauwkeuriger gezegd een terugkeeroppervlak (figuur d).
Eind jaren vijftig bleef de ernstige vraag onbeantwoord of men metafysische gebakjes kon omdraaien zonder plooien te maken. In feite dacht iedereen dat het strikt onmogelijk was. Maar in 1957 bewees een wiskundige, Stephen Smale (die de Fields-medaille kreeg voor een heel ander werk), dat alle immersies van de bol S2 in R3 één enkele verzameling vormen en dat men altijd een continuïteit van vervormingen van immersies (ook wel reguliere homotopie genoemd) kan vinden die van de ene situatie naar de andere gaat. Het gevolg was dat men via een continue reeks immersies van de standaardplonging van de bol S2 naar de antipodale plonging kon gaan. In eenvoudigere termen: men kon een bol omdraaien zonder plooien te maken, mits men het haar toestond om zichzelf om te keren.
Smale’s baas heette Raoul Bott. Die vroeg aan zijn leerling hoe men dat moest aanpakken en Smale antwoordde dat hij er geen idee van had, maar dat zijn stelling volkomen onaanvalbaar was. Smale zag helemaal niets in de ruimte, maar dat kon hem niet schelen (zoals veel meetkundigen). En als we eerlijk zijn, na het bewijzen van zijn stelling maakte hij zich geen zorgen meer over hoe men het zou kunnen realiseren en haastte zich om zich te wijden aan een ander onderwerp, waardoor hij zijn collega-wiskundigen in grote verwarring liet achter. Ik vind dat niet erg aardig: zoiets probleem creëren en dan mensen laten zoeken naar een oplossing, tien jaar later.
Men moet erkennen dat het vrij moeilijk is om immersies in het hoofd te krijgen. Toch kennen we oppervlakken die alleen op deze manier in R3 kunnen worden weergegeven. De Klein-fles bijvoorbeeld.
Klein-fles
We hebben deze hier weergegeven met een raster-coördinatenstelsel bestaande uit twee verzamelingen gesloten krommen, zoals bij de torus. Zo kan men een Klein-fles rastervormig maken zonder raster-singulariteiten te creëren. Maar zoals te zien is, moet dit oppervlak noodzakelijk langs een gesloten kromme, een cirkel, zichzelf doorsnijden. Men kan dus geen Klein-fles in R3 plongeren. Ik heb het geprobeerd, het lukt niet. Men kan alleen maar immersie maken. Dankzij mijn tekenvaardigheid kun je dit object redelijk voorstellen. Maar bij het omdraaien van een bol moest men complexere configuraties overwegen. De manier om ze weer te geven was niet de meest handige. Sommigen gebruikten klei. Als men hen zag praten op conferenties, gingen ze meestal opzij en haalden uit hun collega’s dozen of hoedenkasten objecten die meer of minder monsterlijk waren. Het bovenstaande tekening geeft de meest handige manier om deze objecten te bouwen en te manipuleren: met wat men "koperdraad" noemt, een legering die voldoende buigzaam is om gemakkelijk te kunnen buigen, maar toch zijn elasticiteit behoudt. De beste manier is dan om de punten waar lijnen elkaar ontmoeten (wij raden staven van 2 mm diameter aan) vast te maken met draadbinders. Het voordeel is dat je ze kunt schuiven, tenminste tot je het object een definitieve vorm hebt gegeven. Dan kun je alle schuiving verwijderen door een klein beetje lijm te gebruiken.
In de praktijk komt men zelden een Klein-fles tegen. Hieronder een foto van een Klein-fles die ik voor mijn persoonlijke gebruik gebruik.
Deze objecten zijn, als je enigszins een oog hebt voor vorm, vrij mooi. Ik heb er een aantal laten maken toen ik beeldhouwer was aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence. Maar voordat ik deze techniek overnam, waren er veel tastende pogingen waarbij we zacht koperdraad en karton mengden, wat resultaten gaf met een esthetiek die men niet kon waarderen. Ik herinner me dat ik eens de trein van Marseille moest nemen om in Parijs mijn verloren vriend, de wiskundige André Lichnérowicz, een aantal oppervlakken te brengen die ik had kunnen voorstellen op een overtuigende manier. Met name de Boy-oppervlak, waarop ik een kaart had geplakt met een enkel poolcentrum. Het eindresultaat was een absoluut prachtig object dat twintig jaar lang in de zaal
pi
van het Palais de la Découverte in Parijs tentoongesteld werd. Maar een jaar geleden oordeelde het museum dat dit oppervlak uit de mode was en nu ligt het ergens op een zolder of in een kelder. Ik hoop dat het tijdens het transport niet is verpletterd. Alles om te zeggen dat je nu nergens meer een Boy-oppervlak kunt zien, behalve in boeken of op een CD-ROM waarop ik mijn 18 wetenschappelijke strips in PDF-formaat heb vastgelegd, waaronder de Topologicon.
Hoe verkrijgt men deze CD-ROM?
Maar laten we terugkeren naar mijn reis van Marseille naar Parijs. Ik was al belast met twee koffers en had besloten drie modellen mee te nemen. De enige oplossing was ze om mijn hals te hangen. Maar toen ik de hal van het station overstak en zag hoe mensen me aanstaarden, begreep ik dat ze dachten te maken te hebben met een gek die uit zijn inrichting een bezoekvergunning had gekregen. Het zou zinloos zijn geweest om hun het tegendeel uit te leggen en ik moest dit lijden met zo veel mogelijk waardigheid.
Wat grappig is, is dat mensen die dergelijke dingen bouwen vrij zeldzaam zijn. Er was in Amerika een wiskundige genaamd Charles Pugh, werkzaam in het departement wiskunde van de universiteit van Berkeley. Ik zal hem later nog eens noemen. Pugh was absoluut briljant met gaas voor kippen, maar persoonlijk heb ik altijd de techniek van het koperdraad verkozen.
Laten we terugkeren naar het probleem van de omkering van de bol. De eerste die dit probleem oploste, was de meetkundige Anthony Phillips. Hij publiceerde zijn werk, dat wil zeggen een reeks tekeningen, in een nummer van Scientific American in 1967. Er zijn verschillende manieren om een bol om te keren. Een daarvan bestaat erin elk punt van de bol in overeenkomst met zijn antipode te brengen. Dan krijgt het de vorm van een Boy-oppervlak. Ik heb altijd gedroomd van een sponsor te vinden die een prachtige sculptuur zou bouwen die een aardbol vertegenwoordigt die is omgevouwen tot een Boy-oppervlak. Omdat ik het object niet kon bouwen, heb ik de omslag van de Topologicon ervoor gebruikt:
De aardbol die zichzelf opnieuw verbindt via een Boy-oppervlak
In zo’n configuratie, als je een gat in de noordpool graaft, kom je direct aan de andere kant uit, de zuidpool, omdat deze twee punten antipodisch zijn. Een Fransman die een gat in zijn kelder graaft, zou dus in Nieuw-Zeeland terechtkomen, enzovoort.
De methode van Anthony Phillips bestaat er daadwerkelijk in de manier te beschrijven waarop de bol zich vormt als een dubbelbladige overdekking van het Boy-oppervlak, dat natuurlijk een eenzijdig oppervlak is. Als men een magisch product had,
de traversine,
dat aan oppervlakken het vermogen gaf om zichzelf te doorsnijden, zou het voldoende zijn om elk punt met zijn antipode te verbinden met een draad, die men zou inkrimpen tot nul lengte. Als men deze transformatie niet gemakkelijk kan weergeven, kan men toch een deel van de bol beschouwen, bijvoorbeeld zijn equatoriale omgeving. Dat is wat is gedaan in de volgende animaties. Dit oppervlak, met twee cirkelvormige randen, lijkt op een fietswiel. We hebben drie stralen getekend, verbonden met diametraal tegenoverliggende punten. Door de lengte van deze stralen naar nul te laten gaan, zal dit tweezijdige lint zich vormen als een dubbelbladige overdekking van een Möbiusband met drie halve omwentelingen. Hieronder twee vrij grove animaties. De linker is traag, de rechter snel.
Deze Möbiusband met drie halve omwentelingen is het "equatoriale omgeving" van het Boy-oppervlak. Op deze band wikkelde zich de equator van de bol.
"Het equator" van het Boy-oppervlak
Wat de twee polen van de bol betreft, komen ze samen op de enkele pool van het oppervlak. Zoals de Klein-fles kan dit oppervlak niet in R3 worden geplongeerd. Het kan alleen worden weergegeven als een immersie. Dan heeft het een zelfdoorsnijdingsverzameling die de vorm heeft van een drie-paalige schroef, waarvan de uiteinden zichtbaar zijn en lijken op de "trommels" van drie "oren". In de volgende afbeeldingen vind je enkele elementen om dit oppervlak beter te begrijpen. Bij problemen, zoek een Topologicon.
Boven links een Boy-oppervlak. Omdat dit oppervlak eenzijdig is, kan men geen twee kleuren gebruiken. In
b
' de zelfdoorsnijdingsverzameling, driebladig, die doet denken aan de pennen van een schroef in
b
". De kromme snijdt zichzelf in één drievoudig punt T. De volgende tekeningen zijn bedoeld om de lezer te helpen zich erin te oriënteren.
Alles is goed om de structuur van een oppervlak te illustreren: lintjes, een montage met losse onderdelen. Men ziet dat een beeldhouwer zijn geluk zou vinden met dit werkelijk fascinerende object. Een woordje over de geschiedenis. In 1901 noemde een student van de grote Duitse wiskundige Hilbert, Werner Boy, voor hem een oppervlak waarvan niemand eerder had gedacht. De vakantie was bijna aangebroken. Hilbert zei tegen zijn student:
- Dit probleem lijkt me interessant. Als je wilt, kom na de vakantie terug, dan bespreken we het.
De vakantie ging voorbij, maar toen de school weer begon, kwam Boy niet terug. Na twee maanden probeerde Hilbert hem te vinden. Andere studenten gaven hem zijn adres door, en hij ging erheen. Maar de huisbaas vertelde hem dat de jonge Werner Boy haar de sleutels had teruggegeven voordat de zomer begon en dat hij nooit meer was teruggekomen. Alle onderzoeken om hem te vinden waren vergeefs, net als die naar zijn familie. Hij verdween letterlijk. Als je naar Duitsland gaat, hoop dan niet op zijn graf: het bestaat niet.
Op de laatste afbeelding, onder rechts, is het Boy-oppervlak zelf in wit weergegeven en met grijze en roze kleuren de twee zijden van de bol die het bedekt. De punten A en A' zijn op deze bol antipodisch. Men begrijpt nu hoe deze dubbelbladige overdekking van het Boy-oppervlak kan worden gebruikt om de bol om te keren. Stel dat we de reeks transformaties, de reguliere homotopie, hebben die een roze bol van buiten, grijs van binnen, heeft omgevormd tot deze figuur onder rechts. Dan hoeft men alleen nog maar de twee bladen (waarbij ze zichzelf doorsnijden) te verwisselen, inclusief de punten A en A', en dezelfde transformaties in omgekeerde volgorde uit te voeren om op de antipodale plonging van deze bol te komen, die nu zijn grijze kleur aan de buitenkant toont.
In dezelfde logica kan men verwachten dat een torus zich kan vormen als dubbelbladige overdekking van een ... Klein-fles. Zo ziet deze overdekking eruit.
Dubbelbladige overdekking van de Klein-fles
Als men een torus op deze manier kan vormen, volstaat het nogmaals de aangrenzende bladen, aan beide kanten van de Klein-fles (niet hier weergegeven), te verwisselen, en de operaties in omgekeerde volgorde uit te voeren om op de omgekeerde torus te komen. Dit werk is gepubliceerd in het januarinummer van 1979 van Pour la Science in een artikel getekend door B. Morin en J.P. Petit. Ik zorgde voor de illustraties, Morin voor de tekst. Hoewel hij veel mensen noemde in dit artikel, liet hij mij onbedoeld achter, net zoals hij vergeten was te vermelden dat ik de uitvinder was van dit onderdeel van het werk, op pagina’s 46 en 47. Maar zulke dingen gebeuren als men nauw samenwerkt met een collega. Je weet hoe het is: je bent zo gewend aan zijn aanwezigheid sinds jaren en zo bezorgd om niemand te vergeten dat je uiteindelijk hem vergeten bent, alsof hij onderdeel was van het meubilair. Voor meer details is dit werk onder mijn naam gepubliceerd in de Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris op 20 november 1978 onder de titel "Niet-triviale omkering van de torus", het artikel werd voorgesteld door Academicien André Lichnérowicz.
Volgende pagina