De omkeer van de bol
8
december 2004
pagina 2
Permutatie van de cuspidale punten van een crosscap
Dit zal een klein tussenstuk zijn, in de toon van "waar kan de omkeer van de bol voor dienen?". Hier: om de twee cuspidale punten van een crosscap te verwisselen, wat a priori onmogelijk leek. Ik heb dit kleine trucje ongeveer een dozijn jaar geleden bedacht. Het is nooit gepubliceerd. Maar waar zou men zoiets publiceren? Dat is niet duidelijk. Het is geen "belangrijk resultaat in de wiskunde", maar het is toch een vrij aantrekkelijk oefentje. In het vervolg zullen we gebruik maken van polyhedrale representaties. Rechts de "ronde" crosscap, links een van haar vele mogelijke polyhedrale representaties.
De crosscap met een van haar vele polyhedrale representaties.
In de afbeelding rechts onderaan hebben we er voor gezorgd dat de twee cuspidale punten C1 en C2, gelegen aan het einde van haar lijn van zelfintersectie, in een gebied zijn geplaatst dat men kan beschouwen als een stuk van een bol. We weten dat we een bol kunnen omkeren. Dus kunnen we dit object dezelfde behandeling geven, zonder ons zorgen te maken over de verschillende stadia van deze transformatie. In polyhedrale vorm betekent dit het omkeren van de kubus.
Wat we weten is dat aan het eind van de operatie twee soorten invaginaties zullen zijn ontstaan, zoals die zouden worden gezien door een waarnemer die zich "binnen" de oorspronkelijke crosscap bevond (wat een onjuiste uitdrukking is, omdat deze oppervlak tweezijdig is).
Na omkeer, van de kubus links, van de bol rechts
De polyhedrale representatie is toch behoorlijk handig om de stroom van deze operaties niet uit het oog te verliezen. Het enige wat overblijft, is om twee vingers in deze invaginaties te steken en alles naar buiten te trekken:
Het cuspidale punt C2 naar buiten trekken
Als het je plezier doet, kun je de polyhedrale modellen zelf maken van karton. Of misschien bouwt iemand moedig een VRML-versie om ze te kunnen manipuleren.
Er blijft nog één stap over: het afmaken van de operatie.
Overgang naar een immersie die identiek is aan de beginpositie, maar met de cuspidale punten verwisseld.
Ik heb eens beloofd een dossier te maken over mijn ontmoetingen met de psychiater Jacques Lacan. De crosscap had hij gebruikt om het "fundamentele fantasie" te modelleren. Hij had zich gericht op het "centrale cuspidale punt", en simpelweg het tweede punt genegeerd. In deze centrale regio had Lacan het "linguïstische penis" of "klein a" geplaatst. Ik vertel je de rest een andere keer. Het feit blijft dat Lacan niet had voorzien dat deze punten "vader-mutaties" konden ondergaan. In feite, toen hij me over deze linguïstisch-geometrisch-psychanalytische modellering vertelde, fronste ik mijn wenkbrauwen en stelde me voor dat de twee cuspidale punten verschillende rollen konden spelen; en in de seconde die volgde, terwijl ik me de vraag stelde, wist ik al hoe ze te verwisselen. Lacan was er behoorlijk van ondersteboven, ik herinner me dat. Zijn fundamentele fantasie had nu twee linguïstische penissen in plaats van één. Al zijn werk was gebaseerd op dit object. Maar ik stelde hem onmiddellijk een alternatief voor door het linguïstische penis te plaatsen op het enige polus van een Boy-oppervlak. Zo kwam alles weer in orde, tot grote tevredenheid van hem.
Dit gebeurtenis vond plaats kort voor zijn dood. Zoals ik kon constateren, heeft deze psychanalytisch-geometrische herstructurering blijkbaar nog niet doorgedrongen binnen de gemeenschap van Lacan-georiënteerde psychoanalisten.
Vorige pagina
Volgende pagina