Het omkeren van een torus
9 december 2004
pagina 6
Het niet-triviale omkeren van een torus
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences.
tome 293, vergadering van 5 oktober 1981, serie 1 pp. 269-272
Ik zal me beperken tot het tonen van de afbeeldingen, zonder er commentaar aan te geven.
Niet-triviaal omkeren van een torus. Eerste deel van de transformatie
Niet-triviaal omkeren van een torus. Tweede deel van de transformatie
Als men bij de afbeelding
v
aankomt, ziet men dat het dan eenvoudig is om de grijze structuur en de roze structuur op elkaar te laten vallen, waardoor dit object wordt getransformeerd tot een dubbelbladige overdekking van de Klein-fles.
Het omkeren vindt dan plaats door het verwisselen van de tegenoverliggende bladen. Hieronder hetzelfde plaatje, maar met een kleurcodering.
Dubbelbladige overdekking van de Klein-fles, met kleurcodering
(Dit plaatje maakt geen deel uit van mijn jaarverslag aan het CNRS. Het is te vinden in het Topologicon.)
Verschillende familieën van torussen.
Wat Stephen Smale in 1957 had aangetoond, was dat er maar één familie immersies bestond van de bol en dat allemaal door een homotopie met elkaar konden worden verbonden. Deze vormden een groep waarvan het neutrale element bestond uit het behouden van het object in zijn oorspronkelijke staat. Men vroeg zich af of hetzelfde zou gelden voor de torus. De wiskundigen Ioan James en Emery Thomas hebben aangetoond dat de immersies van de torus verdeeld waren over vier continenten, waarover men met een reguliere homotopie niet kon oversteken.
De vier familieën van torussen
De "standaardtorus", getekend in het midden van de pagina, behoort tot dezelfde familie als het object afgebeeld in
b
. Dat heb ik in mijn 1980 ontwikkelde versie van het omkeren van de torus aangegeven. De in
a
bedoelde familie vertegenwoordigt een torus die een verwinding van 360° heeft ondergaan. Hij lijkt op de standaardtorus, maar ze worden gedefinieerd aan de hand van hun kaartstelsel, met behulp van twee families van krommen. Bij de standaardtorus gebruiken we twee verzamelingen cirkels die overeenkomen met meridianen en parallellen. Bij de torus in
a
zou men de familie cirkels die erop geplakt zijn moeten aanvullen met een tweede familie die in tegengestelde richting verwrongen is. Men kan dan aantonen dat het onmogelijk is, met behulp van een reguliere homotopie, het rooster van deze torus in
a
te laten samenvallen met het rooster van de standaardtorus (meridiaancirkels plus parallellen). In dit opzicht zijn het verschillende objecten. Al deze objecten kunnen natuurlijk allemaal worden geconfigureerd als een dubbelbladige overdekking van de Klein-fles.
De kracht van de gereedschappen van de meetkundige is
het vermogen om te voorspellen wat mogelijk is en wat niet. Een standaardtorus omkeren in de torus uit figuur
b
: ja. Van
c
naar
d
: nee.
Dit bespaart tijdverlies en stimuleert vooral het zoeken naar dingen die absoluut niet vanzelfsprekend zijn, zoals het omkeren van een bol. Dit geldt voor alle wetenschappen. Het komt voor dat mensen jaren of zelfs eeuwen lang vruchtbare aanpakken missen, gewoon omdat ze denken dat ze onmogelijk zijn. Ik heb enkele jaren van mijn leven besteed aan het ontwikkelen van een theorie over het verwijderen van schokgolven rond een object dat met supersone snelheid door een gas beweegt, met behulp van een Laplace-krachtveld, de "MHD". Een student heeft zelfs zijn proefschrift hierover gemaakt onder mijn leiding en wij hebben deze werkzaamheden gepubliceerd in verschillende tijdschriften met externe beoordeling en wetenschappelijke conferenties. Dit onderwerp begint pas nu, dertig jaar later, aan de oppervlakte te komen. Er wordt vermoed dat Amerikaanse vliegtuigen hypersonische snelheden van Mach 10 kunnen bereiken zonder schokgolven te veroorzaken (en met name zonder de enorme thermische belastingen die ontstaan door de compressie van de lucht achter deze "bangs"). Dat is het beroemde mythe van de Aurora, een vliegtuig dat op een hoogte van 80 tot 150 km, waar de noorderlichten ontstaan, vliegt. Aurora is ook een voorspelling van toekomstige ruimtevaartraketten die zich zullen baseren op de lucht en veel economischer zullen zijn dan de raketten van de CNES. In Frankrijk was het onmogelijk om dergelijke onderzoeken te starten (ik had deze ideeën al in 1975), omdat mensen, met name bij het CNRS, ze volkomen onrealistisch vonden. Het gevolg is een vertraging van dertig jaar ten opzichte van de Verenigde Staten, die naar mijn mening volledig onoverbrugbaar is.
De tabaksblik
Om compleet te zijn moet men ook de versies van het omkeren van de bol noemen waarbij een tabaksblik centraal staat. Dat was een voorwerp dat toen ik jong was veelvoorkomend was, maar dat men tegenwoordig nauwelijks meer tegenkomt. De eerste die deze reeks afbeeldingen heeft getekend, was Georges Francis. De afgelopen jaren werk ik aan een polyhedrale versie van deze afbeeldingen, die al een behoorlijk mooie centrale structuur heeft opgeleverd. Maar om hem voor u te tonen, moet ik er eerst weer bij komen. Binnenkort hopelijk, want het is één van de meest fascinerende objecten die ik ooit heb gemaakt.
Vorige pagina
Volgende pagina
