29 februari 2010

Geen naam

Kan men denken als een krab?

27 februari 2009

Wij drukken ons uit, onder andere, via een taal, en die taal zou de weerspiegeling moeten zijn van onze logische structuur. In onze taal hebben we een tweewaardige structuur gecreëerd, met JA en NEE, WAAR en ONWAAR, wat uitmondt in de "Aristotelische gedachte" dat elk uitspraak (een logica zou het een "propositie" noemen) alleen WAAR of ONWAAR kan zijn. Dat noemen we het principe van de uitgesloten derde.

Helaas volgt de ervaring niet de theorie en onze taalgebruik zit vol onbeslisbare uitspraken, die noch waar noch onwaar zijn, zoals:

Ik lieg

Sinds een goed eeuw hebben logici schitterende uitvindingen gedaan om niet-tweewaardige logica's te bouwen. Geef een voorbeeld van een driewaardige logica, de zogenaamde vage logica, waarvan de waarheidswaarden zijn:

Waard Waar Onbepaald Onwaar

Een logica die haar bruikbaarheid heeft bewezen in automatisering, procescontrole (in de techniek).

Er zijn ook pogingen gedaan om een vierwaardige logica te bouwen, de meest klassieke heeft als waarheidswaarden:

Een poging tot uitbreiding die zich niet heeft bewezen vruchtbaar.

In zijn boek:

Om direct contact op te nemen met de auteur:

Erratum De auteur meldt ons dat er een fout zit in één van de tabellen in zijn boek. Het gaat om de tabel op pagina 29, waar de kleurenversie op pagina 135 staat. Allereerst dank voor het belang dat u aan dit werk heeft geschonken en voor het kiezen van het boek.

Dat soort dingen gebeurt... Er zit een mooie fout! Op de derde rij en derde kolom staat per ongeluk een 0 in plaats van een 1. Deze correctie wordt binnen een paar dagen aan iedereen doorgegeven.

Bovendien bevinden de tekens = en \ zich in de diagonalen: deze dubbele strepen, gezien vanuit een bepaalde diagonaal, geven het teken =, en vanuit de andere diagonaal geven ze \, wat moet worden geïnterpreteerd als "verschillend", waar ze zich bevinden.

Hopelijk helpt dit u om uw lezing verder te kunnen voortzetten. We willen opnieuw onze hartelijkste dank uitspreken (en ook onze excuses!), en blijven u graag ter beschikking als u ooit weer twijfelt... Of een nieuwe fout tegenkomt!

Figuur 2.2, te vervangen door de bovenstaande tabel

Denis Seco de Lucena nodigt ons uit op een vreemde ontdekkingstocht, waarvan de lezer het misschien niet ongedeerd zal overleven. Laten we beginnen met een analyse van de taal, wat de aanpak is van elke logica. De auteur stelt voor het concept van transversaliteit in te voeren. Vanuit deze invalshoek zouden alle proposities, hoe ze ook zijn, kunnen worden uitgewerkt in vier vormen, twee aan twee symmetrisch, bestaande uit "twee symmetrische paren". Veel voorbeelden zijn te vinden in de taal, maar de "vierde propositie" is soms moeilijk te formuleren, of komt helemaal niet overeen met een bestaand kenmerk in de taal.

Geef eerst voorbeelden waar deze "transversaliteit" duidelijk uitgedrukt wordt. Neem bijvoorbeeld het begrip beweging. Er zijn vier manieren om "te bewegen":

Onmiddellijk zien we de paren met hun symmetrie. Achteruit is het tegenovergestelde van vooruit, en omgekeerd. Bewegen is het tegenovergestelde van stilstaan, en omgekeerd.

Als we ons richten op de topologie, introduceren we vier bijwoorden of bijwoordelijke uitdrukkingen:

29 februari 2010: Mijn vriend Jacques Legalland stelt voor dat de vierde propositie beter zou zijn geformuleerd als:

Als we ons richten op kleuren:

27 februari 2010: Jie stelt voor:

Spelend met de tijd:

Het bijwoord nooit is het tijdsvergelijkbare van de bijwoordelijke uitdrukking "nergens" (zie hierboven).

Deze manier van denken doet me denken aan het Ummite-tekst over logica, dat, zo ik me goed herinner, vier waarheidswaarden noemde:

Als we de waarheidswaarden van de klassieke vierwaardige logica terugnemen:

27 februari 2010: De vierde waarde zou beter geïnterpreteerd worden als "past niet bij dit soort indeling":

Neem de reële getallen. We hebben:

De vierde propositie zou kunnen zijn:

Bij het overgaan naar implicatie:

We zien dat vier manieren van "zeggen" ontstaan, die verschillen van de klassieke vierwaardige logica zoals eerder genoemd. De symmetrie van de laatste twee proposities is anders. De auteur stelt voor om deze paren van proposities, van kenmerken, "transversaal" te noemen.

De manier waarop wij dit presenteren komt niet overeen met de manier waarop de auteur dit in zijn boek gebruikt, waarvan ik u de lezing aanbeveel. Maar meteen zult u zich afvragen: "Wat zit hieronder verborgen?" Deze vraag zal u verder voeren. De auteur, een wetenschapper, vond zijn uitgangspunt in de brief die ik in 1992 ontving van mysterieuze correspondenten die zichzelf "Ummites" noemden, brief die vanuit Riad, Saoedi-Arabië, was gestuurd. Voor wie deze geschiedenis niet kent, is het goed om de context te herhalen. In de massa documenten die sinds het midden van de jaren zestig uit Spanje waren teruggebracht, benadrukten de auteurs van deze teksten sterk de noodzaak om de Aristotelische logica op te geven en over te stappen op een vierwaardige logica.

Jarenlang probeerde ik verschillende pogingen. In 1992 had ik een Mac Intosh van de eerste generatie, draaiend op 2 Mhz, en natuurlijk volledig onbemand van modem of enige vorm van communicatie met de buitenwereld. In deze computer noteerde ik overpeinzingen die alleen ik kende. Geïnteresseerd door het theorema van Gödel herinnerde ik me dat dit gebaseerd was op de rekenkunde (de manipulatie van natuurlijke getallen), axiomatisch geformaliseerd aan het eind van de vorige eeuw door de wiskundige Peano. De wiskundige Gauss had op zijn tijd hetgeen nu "Gaussische gehele getallen" wordt genoemd, uitgevonden, oftewel complexe getallen met gehele waarden.

Ik merkte op dat deze Gaussische gehele getallen klassiek werden beschouwd als paren van natuurlijke getallen (a, b) en dat er geen axiomatisering was geprobeerd om ze op een andere manier te bouwen dan door ze "twee gehele getallen" te geven.

Enkele dagen na het opslaan van deze overpeinzingen op mijn harde schijf kreeg ik de verrassing van een brief die vanuit Saoedi-Arabië was gestuurd en die dezelfde overpeinzingen noemde.

De inhoud van deze brief

Het blijkt dat Denis, die een wetenschapper is, in deze vreemde brief het uitgangspunt vond voor een tienjarige onderzoekscampagne die hij in zijn recent gepubliceerde boek heeft beschreven. Gezien het exotische, om niet te zeggen gevaarlijke karakter van deze bron, begrijpt men waarom hij besloot het onder een pseudoniem te publiceren.

Weet u nog een boek van Jules Verne: Reis naar het middelpunt van de aarde, waarin de helden spelen met een mysterieus bericht dat is achtergelaten door Aarne Saknudsen. Door hun elementen te combineren ontdekken ze uiteindelijk de weg naar het middelpunt van de aarde. Dus verwacht in het boek van Denis iets vergelijkbaars.

Hij is niet de eerste die deze avontuur probeert, maar tot nu toe zijn alle pogingen vruchteloos gebleken, ondanks soms verleidelijke schijn. Denk aan de poging van de Canadese Norman Mohlant op de site ummo.science. Een wiskundige zou zeggen: "Men kan oneindig veel algebra's bouwen", en ermee spelen zoals men met een Lego-constructie speelt. Een nieuw Lego-element bouwen is een heel ander verhaal.

Waar ligt het "plus" in het werk van Denis?

Hij begint met het vinden van het pad dat leidt naar wiskundige objecten die in 1843 zijn uitgevonden door de Ierse wiskundige Hamilton: de quaternionen. Ze worden het meestal gevonden in boeken in de vorm van een uitbreiding van de complexe getallen:

Q = a + b i + c j + d k

met

i2 = -1

j2 = -1

k2 = -1

i j = k

i j² = k j

i j = - j i

(anticommutativiteit)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

De producten zijn anticommutatief.

Toen Hamilton deze quaternionen ontdekte en de onmetelijke eigenschappen ervan ontdekte, was hij zo onder de indruk van zijn ontdekking dat hij zei:

• Dit moet zeker een toepassing hebben in de fysica, maar wie weet waar?

Hij kon natuurlijk niet voorzien dat deze verbinding zou worden gelegd met de komst van de kwantummechanica. Inderdaad zijn bijvoorbeeld de Pauli-matrices quaternionen.

De auteur laat zien hoe zuiver geometrische overwegingen, uitgaande van de inhoud van de brief, leiden tot een geometrische constructie van quaternionen (via een "complex vlak met twee orthogonale zijden"). Het boek heet "Het geheim van de brief uit Riad". Dit geheim wordt hier aangebroken. In deze brief wordt gesproken over het beroemde stelling van Fermat, die zegt dat de vergelijking met gehele waarden

an = bn + cn

alleen oplossingen heeft voor n kleiner of gelijk aan 2.

De wiskundige Lagrange is de auteur van een vergelijkbare stelling, die Fermat eerder als vermoeden had geformuleerd: elk geheel getal is de som van vier kwadraten.

N (willekeurig geheel getal) **= **a2 + b2 + c2 + d2

Nul moet worden meegenomen in deze getallen, zodat:

3 = 12 + 12 + 12 + 02

Een latere bewijsvoering gebruikt quaternionen, met een redenering door volledige inductie.

Ik zou graag willen dat Denis de bewijsvoering van de stelling van Lagrange vindt, gebruikmakend van quaternionen, en deze op zijn site plaatst.

Neem een quaternion:

Q = (a, b, c, d)

We definiëren zijn geconjugeerde als:

geconjugeerde van Q = Q (a, -b, -c, -d)

Denis stelt een vermoeden voor dat de stelling van Fermat, zoals die door hem werd geformuleerd, een onderproduct is van een quaternionische notatie, waarbij de vergelijking:

( Q1Q1 )n = ( Q2Q2 )n + ( Q3Q3 )n

waarbij de quaternionen gehele componenten hebben, alleen oplossingen heeft voor n kleiner of gelijk aan 2.

27 februari 2010: Ik merk op dat deze twee uitspraken equivalent zijn, omdat het modulus van een quaternion (a, b, c, d) gelijk is aan a2 + b2 + c2 + d2. Dat is dus een geheel getal volgens de stelling van Lagrange.

Deze aantekening zou de gemiddelde lezer kunnen afschrikken. Maar in feite blijft het hele boek zeer toegankelijk. De vele voorbeelden van transversaliteit vormen een leuke en stimulerende spelletjes met de taal, en de lezer kan zich amuseren met het vinden van andere voorbeelden van dit soort. De geometrische schema's zijn ook zeer leesbaar.

Dit boek lijkt de eerste steen te zijn van een grotere constructie, de opening naar een andere manier van denken.

Om het boek te bestellen (18 euro inclusief verzending, 144 pagina's):

http://quadrilogie.com

2 maart 2009: Een lezer, mijnheer Christian Pedro, heeft ons een pdf gestuurd met de bewijsvoering van de stelling van Lagrange over vier kwadraten.

De stelling van Lagrange over vier kwadraten

Andere opmerking: Het product van de moduli van twee quaternionen is gelijk aan de modulus van het product. Bewijs van de wiskundige Euler (1750).

(a1² + a2² + a3² + a4²) × (b1² + b2² + b3² + b4²) =

(a1b1 - a2b2 - a3b3 - a4b4)² + (a1b2 + a2b1 + a3b4 - a4b3)² + (a1b3 - a1b4 + a3b1 - a4b3)² + (a1b4 + a2b3 - a3b2 + a4b1)²

Dit betekent dat de modulus van het product van twee quaternionen:

A = (a1, a2, a3, a4) B = (b1, b2, b3, b4)

gelijk is aan de modulus van het quaternion:

C = (a1b1 - a2b2 - a3b3 - a4b4, a1b2 + a2b1 + a3b4 - a4b3, a1b3 - a1b4 + a3b1 - a4b3, a1b4 + a2b3 - a3b2 + a4b1)

Mijnheer Pedro twijfelt erover of een aanpak gebaseerd op quaternionen zou kunnen leiden tot een relatief eenvoudig bewijs (in vergelijking met het bewijs van Wiles, dat honderden pagina's beslaat!), terwijl duizenden wiskundigen al hun tanden hebben gebroken aan het probleem.

Ik heb geen mening. Maar ik maak toch twee opmerkingen.

We weten dat natuurlijke getallen in elke basis kunnen worden geschreven, en met name dat priemgetallen deze eigenschap behouden, ongeacht de basis waarin ze worden geschreven. Dus waarom niet de eenvoudigste basis nemen: basis twee, met zijn twee elementen: 0 en 1.

De Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano (1858–1932) heeft de vijf axioma's gegeven die de rekenkunde van de natuurlijke getallen ondersteunen.

De Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano 1.

********** 3.

Het element dat nul wordt genoemd en wordt aangeduid als: 0, is een natuurlijk getal.

Elk natuurlijk getal n heeft een unieke opvolger, aangeduid als s(n) of Sn.

Geen natuurlijk getal heeft 0 als opvolger.

Twee natuurlijke getallen met dezelfde opvolger zijn gelijk.

Als een verzameling natuurlijke getallen 0 bevat en de opvolger van elk van haar elementen bevat, dan is deze verzameling gelijk aan N.

Het eerste axioma stelt dat de verzameling van natuurlijke getallen niet leeg is, het derde dat het een eerste element heeft, en het vijfde dat het voldoet aan het principe van volledige inductie.

Gebaseerd op deze vijf axioma's leidt de rekenkunde van Peano tot een logica van de eerste orde, die niet ontsnapt aan het onvolledigheidstheorema van Gödel. Wat de afzending van de brief uit Riad had veroorzaakt, was deze opmerking die ik had gemaakt over de Gaussische gehele getallen z = a + ib

waar a en b natuurlijke getallen zijn.

Het leek me dat er geen axiomatisering bestond die specifiek was voor deze rekenkunde van Gaussische gehele getallen, die mij leken opgebouwd uit "twee keer de rekenkunde van Peano", wat anders is. Vanuit deze invalshoek worden deze Gaussische gehele getallen, in plaats van "punten van een regelmatig raster", paren van punten (a, b) die worden genomen op segmenten van lijnen. De rekenkunde van Gaussische gehele getallen wordt dus "twee keer de rekenkunde van Peano".

Nu stel ik de vraag:

*- Bestaat er een verzameling axioma's die de rekenkunde van gehele quaternionen definieert? Als dat het geval is, op welke logica zouden we dan moeten uitkomen? Zou deze logica vierwaardig zijn? Zou ze