a103
| 3 |
|---|
(positieve) Kromming.****
Wanneer we met onze plakband een driehoek op een plat vlak tekenen, is de som van de hoekwaarden 180°. Het gaat om een euclidisch oppervlak. We zullen zeggen dat het geen kromming bevat. Het is werkelijk een plat oppervlak. De som van de hoeken van onze driehoek is de euclidische som. Toen we de driehoek op onze kegel, onze ‘posikegel’, tekenden en de top S zich buiten bevond, was de som nog steeds 180°. Omgekeerd, toen de top zich binnen bevond, was de som 180° plus de hoek q (de uitsnede die we hebben kunnen maken om onze posikegel te construeren, zie figuur (8)).
Deze top is een bijzonder punt van het oppervlak, een kegelvormig punt, en we zullen zeggen dat het een zekere (positieve) geconcentreerde kromming bevat. Het is een punt van geconcentreerde (positieve) kromming.
We kunnen nu twee uitsneden maken, overeenkomend met de hoeken q1 en q2. Zie figuur (13). We verkrijgen dan een vreemd oppervlak met twee kegelvormige punten S1 en S2. Zie figuur (14).
(13)
(14)
U kunt nu zoveel geodetische driehoeken tekenen als u wilt, overeenkomend met verschillende gevallen.
-
Als ze geen kegelvormige top bevatten, is de som van de hoeken 180°.
-
Als ze de top S1 bevatten, is de som 180° plus q1.
-
Als ze beide toppen bevatten, q1 en q2, is de som 180° + q1 + q2
(15)
Stel u nu voor dat u een groot aantal kleine posikegels kunt maken en ze aan elkaar kunt plakken, zoals getoond in figuur (16). Elke kleine posikegel komt overeen met een elementaire hoek Dq. U kunt deze kleine kegels op een regelmatige manier rangschikken. Ik bedoel: de afstand tussen een top en de toppen van de naburige kleine kegels zou overal bijna constant zijn.
(16)
Als uw kleine kegels steeds kleiner worden, evenals hun bijbehorende elementaire hoek Dq, bouwt u een deel van een regelmatig oppervlak met constante krommingsdichtheid.
Een bol is een oppervlak met een constante lokale krommingsdichtheid. Anders gezegd, men zegt dat de bol een oppervlak met constante kromming is.
Als u uw kleine kegels anders rangschikt, kunt u een oppervlak met een variabele lokale krommingsdichtheid bouwen. Bijvoorbeeld een ei. Het ei van een kip is een oppervlak met een variabele lokale krommingsdichtheid. Maar een pingpongbal is een oppervlak met een constante krommingsdichtheid. Zo herkent de kip haar ei en maakt ze het onderscheid met de pingpongbal. Ze trekt geodeten met plakband, enzovoort...
In werkelijkheid tekent de kip niet fysiek geodeten op het voorwerp. Ze doet het mentaal.
(17)
In de algemene relativiteitstheorie identificeert men de massadichtheid r met de lokale kromming.
Natuurlijk is het speelveld van de algemene relativiteitstheorie geen oppervlak in 2 dimensies. U kunt zich een hyperoppervlak in 3 dimensies voorstellen. U kunt zich een hypersfeer in 3 dimensies voorstellen. Maar wie kan zich een hyperoppervlak in 4 dimensies voorstellen?
Overigens heeft de 4-dimensionale kromming van het 4-dimensionale hyperoppervlak dat ‘universum’ wordt genoemd, speciale kenmerken die we hier niet zullen onderzoeken. Dat toont aan dat didactische modellen hun beperkingen hebben. Maar ze zijn goed om de verbeelding te prikkelen en de geest open te stellen voor enigszins andere werelden.