a122
| 23 |
|---|
Geometrische context.
Een bol is een tweedimensionaal geometrisch object. We hebben twee grootheden, twee getallen, twee scalairen nodig om een punt erop te lokaliseren.
Een bol is een oppervlak dat een topologie bezit. Zijn topologie verschilt van die van de torus.
Beide bezitten geodetische systemen. Zoals in een vorige sectie is aangegeven, kunnen we ons twee verschillende punten M1 en M2 op een bol voorstellen en een kromme die deze twee punten verbindt. We kunnen dan de lengte langs dit specifieke pad meten. Dit is een grootheid die invariant is onder coördinatentransformatie. Een bol S² bestaat onafhankelijk van elke representatieve ruimte in 3D. Maar we kunnen hem voorstellen in onze vertrouwde Euclidische 3D-ruimte, waarin we geacht worden te leven. We kunnen hem dan een centrum toekennen en al zijn punten met dit centrum verbinden. Zie figuur (116). Elk punt komt overeen met twee hoeken: q en j.
(116)
We hebben een gat in de bol gemaakt om de vectoren OM te tonen, waarbij O het centrum is en M een punt van de bol.
Nu behoudt figuur (117) de vectoren en vergeet de bol.
(117)
Deze halve rechten zijn oneindig, maar we hebben ze afgebeeld afgesneden op een gegeven lengte, overeenkomend met de straal R van onze bol. Elke rechte komt overeen met een paar ( q , j ). De metrische structuur is verdwenen. Geen geodeten, geen lengte. Wat blijft er over?
Elke halve rechte heeft buren, die zijn omgeving vormen. Elke halve rechte kan worden voorgesteld als opgesloten in een opeenvolging van kegels (figuur (118)).
(118)
Rond elke rechte kunnen we zoveel kegels plaatsen als we willen. Tussen twee van deze kegels kunnen we er altijd nog een invoegen. Dit suggereert intuïtief het concept van differentieerbaarheid. In een dergelijk geometrisch object is er geen discontinuïteit.
Nu vergeten we de bol en nemen we een vlak oppervlak. Het is een verzameling punten. Welk coördinatensysteem ik ook kies, ik kan de punten definiëren met twee grootheden: (x,y), (r,q), enz.
Een paar reële getallen. Deze worden gekozen uit R², dat wil zeggen uit de verzameling reële getallen, zoals (3,8705 , -17,56).
Elk paar reële getallen (x ; y) heeft een oneindig aantal buren (x + Dx ; y + Dy).
Deze "pre-metrische" objecten worden door wiskundigen variëteiten genoemd.
Het is tamelijk moeilijk om aan een dergelijk "soepel" medium te denken. In figuur (119) hebben we een star, vlak oppervlak afgebeeld, voorzien van metrische eigenschappen, en daaronder de schaduw van zijn punten.
(119)
Een schaduw heeft geen eigen vorm, noch uitgestrektheid. Hij hangt af van het scherm en de productie van lichtstralen. In figuur (120) suggereren we de relativiteit van de schaduw ten opzichte van het object.
(120)
Deze "evenwijdige lijnen" zijn vergelijkbaar met die stralen die we hebben geïntroduceerd om de punten van een bol met zijn centrum te verbinden. Hier zijn de punten van het vlak "verbonden" met een "bron" die zich in het oneindige bevindt.
Laten we dit laatste idee van rechte lijnen opgeven. Beschouw een bundel gekookte spaghetti (als ze niet gekookt zijn, zouden ze star en breekbaar moeten zijn). We kunnen ze buigen. Maar we leggen de spaghetti op om samengevoegd te blijven. Hun omgeving mag niet worden gewijzigd.
(121)
Dit alles is zeer grof, dat weet ik, en niet volledig rigoureus. Ik probeer de lezer slechts te suggereren wat een variëteit is, een geometrisch object zonder metriek, waarvan de belangrijkste eigenschap is dat elk punt buren heeft.
Een variëteit is een verzameling punten m. Ik kan me voorstellen dat ik aan elk punt van een variëteit een paar (M1, M2) van punten associeer die tot reële oppervlakken behoren, met metrische eigenschappen, lengten, enz.
Ik noem de n-dimensionale variëteit een skeletvariëteit en de bijbehorende n-dimensionale oppervlakken simpelweg plooien. Vervolgens construeer ik de dubbelbladige bedekking van een variëteit.
In figuur (122) bevindt zich de dubbelbladige bedekking van een variëteit m2 (twee dimensies).
(122)
In figuur (122) heb ik identieke en evenwijdige Euclidische plooien afgebeeld, voorzien van dezelfde metriek. Maar ik kan figuur (123) construeren:
We zullen M en M* geconjugeerde punten noemen. Deze twee plooien construeren vanuit een "skeletvariëteit" heeft een precieze betekenis: aan elk punt M van de plooi F kunnen we één en slechts één geconjugeerd punt M* associëren. Er bestaat een punt-tot-punt afbeelding. We kunnen dan de skeletvariëteit vergeten.
Aan elke omgeving van een punt van de plooi F correspondeert de omgeving van zijn geconjugeerde punt M*. Zie figuur (124). Dit betekent dat aan elke regelmatige regio van F een geconjugeerde regelmatige regio behorend tot F* correspondeert.
(124)
Dit toont met name aan dat de geconjugeerde punten M en M* door dezelfde verzameling coördinaten worden beschreven.