a103

(Positieve) kromming.

Wanneer we met onze plakband een driehoek op een plat vlak tekenen, is de som van de hoeken 180°. Dit is een euclidisch oppervlak. We zullen zeggen dat het geen kromming bevat. Het is echt een plat oppervlak. De som van de hoeken van onze driehoek is de euclidische som. Toen we de driehoek op onze kegel tekenden, onze "posikegel", en toen de top S erbuiten lag, was de som nog steeds 180°. Omgekeerd, toen de top erbinnen lag, was de som 180° plus de hoek q (de snede die we maakten om onze posikegel te bouwen, zie figuur (8)).

Deze top is een bijzonder punt van het oppervlak, een conisch punt, en we zullen zeggen dat het een (positieve) geconcentreerde kromming bevat. Het is een geconcentreerd (positief) krommingspunt.

Nu kunnen we twee sneden maken, overeenkomend met hoeken q1 en q2. Zie figuur (13). Dan krijgen we een vreemd oppervlak met twee conische punten S1 en S2. Zie figuur (14).

(13)

(14)

Nu kun je zoveel geodetische driehoeken tekenen als je wilt, overeenkomend met verschillende gevallen.

• Als ze geen conische top bevatten, is de som van de hoeken 180°.

• Als ze de top S1 bevatten, is de som 180° plus q1.

• Als ze de twee toppen bevatten, q1 en q2, is de som 180° + q1 + q2

(15)

Stel je nu voor dat je een groot aantal kleine posikegels kunt maken en ze aan elkaar kunt lijmen, zoals getoond in figuur (16). Elke kleine posikegel komt overeen met een elementaire hoek Dq. Je kunt deze minikegels op een regelmatige manier rangschikken. Ik bedoel: de afstand tussen een top en de toppen van de minikegels van de buren zou overal bijna constant zijn.

(16)

Als je minikegels kleiner en kleiner worden, evenals hun bijbehorende elementaire hoek Dq, zul je een deel van een regelmatig oppervlak met constante krommingsdichtheid bouwen.

Een bol is een oppervlak met constante lokale krommingsdichtheid. Eenvoudiger gezegd: men zegt dat de bol een oppervlak met constante kromming is.

Als je je minikegels anders rangschikt, kun je een oppervlak met variabele lokale krommingsdichtheid bouwen. Bijvoorbeeld een ei. Het ei van een hen is een oppervlak met variabele lokale krommingsdichtheid. Maar een pingpongbal is een oppervlak met constante krommingsdichtheid. Daarom herkent de hen haar ei en maakt ze het onderscheid met de pingpongbal. Ze trekt geodeten met plakband, enzovoort...

In feite brengt de hen de geodeten niet fysiek op het object aan. Ze doet het mentaal.

(17)

In de algemene relativiteitstheorie identificeert men massadichtheid r met lokale kromming.

Natuurlijk is het speelterrein van de algemene relativiteitstheorie geen 2d-oppervlak. Je kunt je een 3d-hyperoppervlak voorstellen. Je kunt je een 3d-hyperbol voorstellen. Maar wie kan zich een 4d-hyperoppervlak voorstellen?

Trouwens, de 4d-kromming van het 4d-hyperoppervlak dat "universum" wordt genoemd, heeft bijzondere kenmerken die we hier niet gaan verkennen. Dit toont aan dat didactische modellen beperkt zijn. Maar ze zijn goed om de verbeelding te stimuleren en de geest open te stellen voor enigszins andere werelden.