| 4 |
Didactische afbeelding van een hemellichaam (ster, planeet, dicht ei)
Een ster zoals de Zon is een massa-concentratie.
Er omheen: het leegte, of een deel van de ruimte dat "bijna leeg" is, want het bevat zeer verdun gas en fotonen. In 2D is de bijbehorende didactische afbeelding een stompe (positieve) kegel:
(18)
Je kunt dit maken met twee componenten. Een deel van een bol en een deel van een (positieve) kegel, aan elkaar gelijmd. Het deel van de bol is een oppervlak met constante krommingsdichtheid. Het deel van de kegel is een vlak oppervlak, een oppervlak met lokale krommingsdichtheid nul. Dit laatste voorbeeld is een euclidisch oppervlak. Het deel van de bol is een niet-euclidisch oppervlak (een Riemanniaans oppervlak).
Dit is de 2D didactische afbeelding van een object met constante dichtheid r, omringd door leegte.
Hoe de twee elementen samen te voegen, om de continuïteit van het raakvlak te garanderen? Het is simpel. Je deel van een kegel komt van een kegel waarvan de snede overeenkomt met een hoek q. Je deel van een bol wordt verondersteld gebouwd te zijn met elementaire mini-positieve kegels, zodat het een bepaalde "hoeveelheid hoek-kromming" q bevat. Als de twee hoeken gelijk zijn, zal het raakvlak continu zijn.
Maar hoe de hoeveelheid kromming in een gegeven deel van een bol te meten?
Totale kromming.
We kunnen een oppervlak bouwen door elementaire positieve kegels te verbinden. We kunnen het zo rangschikken dat we een oppervlak met constante krommingsdichtheid krijgen. Dan weten we dat het oppervlak een deel van een bol is. Als we steeds meer elementaire (positieve) kegels toevoegen, zal deze bol compleet zijn. Het bevat een bepaalde hoeveelheid hoek-kromming. Alle bollen bevatten dezelfde. De totale hoek-kromming van een pingpongbal en de totale hoek-kromming van de Aarde zijn gelijk, hoewel ze een zeer verschillend gewicht hebben.
Trouwens, de totale kromming van een ei is hetzelfde, want ze hebben dezelfde topologie. In principe maken hennen eieren met een sferische topologie. Persoonlijk heb ik nog nooit een ei met een toroidale topologie gezien. Dit zou overeenkomen met een soort vreemde slang, zonder kop, noch staart, of iets dergelijks.
Laten we terugkeren naar pingpongballen, normale bollen. Als dit oppervlak een constante lokale hoekdichtheid heeft, betekent dit dat de hoeveelheid hoek-kromming (de som van elementaire hoeken Dq) evenredig zal zijn met de oppervlakte. Zie figuur 19. Deze oppervlakte kan worden begrensd door elke soort rand. Maar we kunnen geodetische lijnen van de bol gebruiken. Noem S de oppervlakte van de bol en s de grijze oppervlakte, binnen de driehoek.
(19)
Hierboven zagen we dat de (positieve) afwijking van de euclidische som (180°), voor een driehoek getekend op een oppervlak, afhangt van het aantal kegeltoppen die er binnen lagen. De som was 180° plus alle hoeken die overeenkwamen met die ingesloten toppen.
Omgekeerd, als ik de afwijking van de euclidische som meet, kan ik de hoeveelheid kromming meten die binnen de driehoek ligt.
Een geodetische lijn van een bol wordt een grote cirkel van de bol genoemd. Zie figuur (20). Meridianen, de evenaar, zijn grote cirkels van de bol.
(20)
We kunnen onze bol in acht stukken van gelijke oppervlakte snijden. Zie figuur (21). We krijgen acht driehoeken waarvan alle hoekwaarden 90° zijn. Dan is de afwijking van de euclidische som 90°. Elke van deze driehoeken bevat een hoek-kromming gelijk aan 90°. Als conclusie is de totale kromming, de totale hoek-kromming van de bol 8 x 90° = 720° = 4 p.
(21)
Elke grijze driehoek bevat p/2.
Geniet je van gebogen oppervlakken, Riemanniaanse geometrie van oppervlakken?
Als we terugkeren naar onze stompe kegel, zien we dat de hoek-kromming binnen de cirkelvormige rand ligt, in het gebied met constante krommingsdichtheid. De flank, de wand van de kegel, is geen begrensd oppervlak. Je kunt het tot in het oneindige uitbreken als je wilt. De hoeveelheid hoek-kromming hangt niet af van de omtrek van de rand, van de oppervlakte van het deel van de bol. Deze laatste kan worden verkleind. Zie figuur (22). Zelfs verkleind tot een simpel punt waar het dezelfde hoeveelheid hoek-kromming zal bevatten. Daarom zeggen we dat een kegeltop een punt van geconcentreerde kromming was. Omgekeerd kunnen we gladde oppervlakken bouwen met een reeks kegeltoppen.
Materie is gemaakt van atomen. Atomen kunnen worden beschouwd als puntvormige objecten. Ze zijn "punten van geconcentreerde kromming" in 3D-ruimte.
De lucht die je ademt is een medium met constante dichtheid. Het is gemaakt van moleculen, atomen. Het is een reeks punten van geconcentreerde kromming, verbonden door euclidische delen van de ruimte. Je assimileert dit met een medium met constante kromming.
Denk erover na de volgende keer dat je ademt.
(22)
