Negacones.
Laten we nu bouwen wat we een "negacone" zullen noemen. Om een posicone te bouwen, verwijderden we een sector uit een vlak. Hier voegen we er een toe, overeenkomend met een hoek q:
(30)
Op dit oppervlak kunnen we geodetische lijnen tekenen, met onze plakband, en met drie ervan een driehoek maken. Als je de som van de hoeken meet, zul je zien dat die 180°-q is. We zullen zeggen dat het een negatieve krommingsconcentratie definieert.
Er zijn objecten met negatieve kromming in je huis. Sommige stoelen, bijvoorbeeld: (30 bis)
Als we een schijf nemen, krijgen we figuur (31):
(31)
Natuurlijk, als de driehoek gevormd door de drie geodetische lijnen de top S, die alle (negatieve) hoekkromming bevat, niet omsluit, zal de som de euclidische som zijn: 180°.
Het paardenzadel.
Je kunt een groot aantal elementaire negacones met hoek - Dq bouwen en ze samenvoegen. Je kunt dat doen om een bijna constante afstand tussen twee naburige toppen te krijgen. Dan zou je een oppervlak met constante negatieve krommingsdichtheid bouwen: een paardenzadel. Maar dit oppervlak zal nooit gesloten worden.
In het algemeen noemt de meetkundige het een oppervlak met constante negatieve kromming.(32)
"Stompe negacone".
In een vorige paragraaf bouwden we, met behulp van een oppervlak met constante positieve krommingsdichtheid (een deel van een bol) en een deel van een posicone, een stompe posicone.
Op dezelfde manier kunnen we bouwen wat we een stompe negacone zullen noemen. We moeten een paardenzadel aan een deel van een negacone vastmaken, langs hun gemeenschappelijke cirkelvormige rand. Om de continuïteit van het raakvlak te beheren, moet de (negatieve) kromming in het paardenzadel gelijk zijn aan de negatieve kromming die bij de constructie van de negacone betrokken is.
Het is relatief gemakkelijk om het vereiste deel van een negacone te bouwen!
(33)
NB: Net als de posicone kan de negacone als drukvorm worden gebruikt. Maar we kunnen nauwelijks zien hoe je een negacone op een plat vlak kunt rollen. Het is daarom gemakkelijker om het vlak op een matrix met negatieve kromming te rollen.
Gutenberg vond de druktechniek uit. Een reliëfpatroon wordt in een vlak gegraveerd. Dan brengt men inkt erop aan en drukt het op een vlak.
Later werd de drukvorm omgezet in een cilinder, voor krantendruk (rotatiepers).
Maar niemand, voor zover ik weet, gebruikte de conische pers.
In alle gevallen is het belangrijke punt om de twee oppervlakken met elkaar in contact te brengen, wat men ook doet. Ofwel verplaats je de vorm, ofwel rol je het papier (het vlakke oppervlak).
Zoals getoond op figuur (34) kun je een conische vorm gebruiken om iets op een vlak te drukken. Een conische krant, plat gelegd.
(34)
Het is niet definitief zeker dat niemand dat ooit zal gebruiken. Stel dat je jurken wilt produceren, met een speciaal ontwerp, overeenkomend met conische symmetrie. Stel dat je duizenden zulke jurken moet produceren. Je zou het oorspronkelijke ontwerp op een conische matrix kunnen graveren en die dan gebruiken om op het materiaal of de stof te drukken. De klant zou het kunnen kopen en de "conische" jurk maken, zeker wetend dat het verkregen patroon overal goed zou zijn.
Op figuur (35) staat wat je krijgt als je met een matrix met negatieve kromming drukt. Rechts een negacone, plat gelegd.
(35)
Op figuur (36) wordt getoond hoe je het paardenzadel aan het deel van de negacone vastmaakt.
Trouwens, je zou kunnen vragen:
- Hoe kan ik de negatieve hoekkromming in mijn paardenzadel meten?
Op sommige plaatsen in Texas, dicht bij wiskundedepartementen, wordt bij aankoop van een paardenzadel de overeenkomstige hoekkromming op het bijgevoegde ticket aangegeven. Zo niet, dan kun je, wanneer je de omtrek van de rand, of de oppervlakte, vergelijkt met de euclidische waarde, berekend uit de straal van deze schijf met negatieve kromming, de overeenkomstige hoekkromming afleiden. Beschouw dit als een vruchtbare oefening.
(36)
(37)
Nu kunnen we onze plakband gebruiken, geodetische lijnen tekenen en het op een vlak projecteren, zoals getoond op figuur (38).
(38)
Zoals gewoonlijk verwijst deze vlakke projectie naar onze "mentale wereld", de wand van Plato's grot. Het aspect van de geprojecteerde geodetische lijn zou voor ons betekenen dat een of andere afstotende kracht op onze referentieobjecten inwerkt, bijvoorbeeld een afstotende zwaartekracht. In feite zou dat allemaal uit de onderliggende meetkunde moeten komen.
