| 7 |
Geconjugeerde geometrieën.
We kunnen nu een stompe posicone en een stompe negacone associëren.
Elkaar tegenoverstaand: een deel van een bol en een zadel, met tegengestelde
angular kromming + q
en - q. We hebben een punt-tot-punt correspondentie (injectieve afbeelding). Op figuur (39) is een paar geconjugeerde
punten afgebeeld.
We noemen geconjugeerde geometrieën twee geometrische structuren,
met een punt-tot-punt verbinding, waarbij de lokale krommingsdichtheden tegengesteld zijn.
Dit is het geval voor het deel van de bol en het bijbehorende zadel. Hetzelfde geldt voor het deel van de posicone,
geconjugeerd aan een deel van de negacone. Hun lokale angular krommingsdichtheden zijn nul.
(39)
De positieve kromming, in de vouw F, is volledig contained
in het deel van de bol. Het deel van de posicone is een euclidisch oppervlak,
dat "lokaal vlak" is. In de andere vouw F*, de geconjugeerde vouw, is alle
(negatieve) angular kromming contained in het zadel. Buiten is het deel van de negacone "lokaal vlak", het bevat geen kromming.
Merk op dat, gegeven een vouw, je de andere kunt construeren.
Algemene Relativiteitstheorie.
Het basisidee is dat de lokale inhoud van "materie-energie"
de lokale geometrie bepaalt, het vormt de ruimtetijd-hypersurface. Merk op
dat het samengestelde woord "materie-energie", dat aangeeft dat elke inhoud de geometrie van het universum bepaalt: materie en straling. In een vorige
sectie hebben we verwezen naar het feit dat fotonen bijdragen aan (positieve) kromming.
Vandaag is de bijdrage van de kosmische achtergrond verwaarloosbaar. De bijdrage van materie
aan de geometrie is dominant. Maar, in het verre verleden, was de situatie omgekeerd
: in het Standaard Model, toen t < 500.000 jaar.
Laten we een didactisch model zoeken om de
basisconcepten van de algemene relativiteitstheorie te illustreren. Laten we werken met stationaire systemen.
Beschouw een vlak oppervlak, zonder interne spanning. We kunnen zijn geometrie
veranderen als we lokale spanning introduceren. We kunnen positieve of negatieve spanning
(spanningstensor) introduceren. Bijvoorbeeld, als ik een plastic folie verwarm, creëer ik een blister
(positief krommingseffect)
Ik kan ook het materiaal impregneren met een product dat,
wanneer droog, lokale rekking veroorzaakt (negatief krommingseffect).
Een ketelmaker weet hoe verwarming en koeling te gebruiken
om een metalen oppervlak te vormen, bijvoorbeeld een blik dat in een ongeval is geweest.
Neem een eenvoudige metalen buis. Laten we deze aan één kant
verwarmen en aan de andere kant afkoelen. Wat zal er gebeuren?
(40)
De spanning zal de buis buigen, zoals getoond op figuur (41).
(41)
We hebben spanningen in het metaal geïntroduceerd. Dit is de
oorsprong van het woord tensor in de wiskunde, weerstand van materiaal en geometrie.
De specialist in materiaalweerstand zal spreken in termen van spanningstensor. De geometer zal de krommingstensor aanroepen. De specialist
van de algemene relativiteitstheorie zal het basisprincipe toepassen:
lokale energie-materie inhoud
<-------> lokale geometrie
Uiteraard bepaalt deze lokale energie-materie inhoud
de lokale geometrie van een 4D-hypersurface. Maar het idee is vergelijkbaar.
Hoe dit te schrijven? Met wat wiskundigen tensors noemen.
Het is moeilijk om verder te gaan in die richting, zonder
een volledige cursus differentiaalmeetkunde te ontwikkelen. De beroemde
Einstein-vergelijking is:
(42)
S = c
T
c is een eenvoudige constante (genaamd
de Einstein-constante). Het hangt af van de waarden van twee andere constanten
:
-
De lichtsnelheid c.
-
De gravitatieconstante G.
via:
(42bis)
S is een geometrische tensor en neemt de
geometrische kenmerken in behandeling.
T is een andere tensor, die de lokale inhoud
van het universum beschrijft. In deze tensor vind je de materiedichtheid r
en de druk p. Ze worden uitgedrukt als energiedichtheden.
r c2
is een energiedichtheid
Maar p is ook een energiedichtheid. Meestal drukt men een
druk uit in pascal per vierkante meter. Maar een pascal per vierkante meter is ook
een joule per kubieke meter. Een druk is in principe een volumetrische energiedichtheid.
De velden
r (x,y,z) en p
(x,y,z)
voor een stationair systeem, vormen de input van het probleem.
Uit deze scalaire velden kunnen we de tensor T construeren. Dan wordt de vraag:
- Wat is de geometrie die bij een dergelijke tensorveld
T (x,y,z) hoort, die vergelijking (42) voldoet?
Gegeven de lokale inhoud van het Universum, moet de theoreticus
de lokale geometrie van de ruimtetijd-hypersurface construeren. Maar, waarvoor?
Hier wordt de tweede basishypothese gebruikt:
- Alle objecten die ons universum samenstellen volgen
geodesics van de ruimtetijd-hypersurface.
Een object kan een ster, een planeet, een atoom, een foton, een
elementair deeltje zijn.
Komen de deeltjes voort uit de veldvergelijking? Helemaal niet. De algemene relativiteitstheorie negeert ze volledig. Voor de specialist van de algemene
relativiteitstheorie is het universum een continuum, niets anders. De inputfuncties
r en p corresponderen met
een macroscopische beschrijving van het universum. Hetzelfde geldt voor de output: het geodesic
systeem. Voor de theoreticus van de algemene relativiteitstheorie is het Universum een hypersurface,
niets anders. Hij zegt:
- Je hebt me functies r (x,y,z)
en p (x,y,z) gegeven. Ik heb
voor jou de adequate hypersurface gebouwd, die de veldvergelijking gehoorzaamt. Ik
heb alle mogelijke paden bepaald: het geodesic systeem. Maar ik ben volledig
onbekwaam om voor jou deeltjes te construeren. Sorry. Zie een andere afdeling.
Samenvattend: de brug tussen de algemene relativiteitstheorie en
de wereld van elementaire deeltjes wacht nog op zijn bouwer.
Maar de astronoom zal zeggen:
- Wie geeft om? Fotonen verondersteld worden
bijzondere geodesics van deze hypersurface te volgen. Het werkt: ik kan dingen observeren met optische instrumenten. Planeten verondersteld worden
ook een ander soort geodesics te volgen. Het werkt ook. Ik kan hun paden berekenen, de precessie van Mercurius'
perihelium voorspellen. Er is ook het gravitationele lens-effect.
Hij heeft gelijk.
Enkele woorden over dit gravitationele effect. Allereerst,
dit beeld van de stompe kegel is een eenvoudige didactische afbeelding. Bijvoorbeeld, het kan niet
de cirkelvormige paden van een planeet rond een ster beschrijven:
(43)
Dit toont simpelweg de beperking van didactische beelden. Maar we
kunnen dit laatste voorbeeld gebruiken om het gravitationele lens-effect te illustreren, met
twee geodesics:
(44)
Hieronder, de mentale, euclidische representatie van ruimte.
Er is een spiegelings-effect. In plaats van een enkel object, ziet de waarnemer twee "gravitationele
spiegelingen".
