| 8 |
Coördinateninvariant formalisme.
Dit is een ander sleutelwoord van de algemene relativiteitstheorie. We hebben gezegd dat het werk van de kosmoloog equivalent is aan het voorspellen van de vorm van een materiaal, als gevolg van interne spanning.
Neem een object, waarvan de topologie die van een bol is. Het is een bol van metaal. Hier zouden we het ook kunnen vormgeven, met stromen van warme en koude lucht.
(45)
Deze stromen creëren spanning in het metaal, wat de vorm ervan verandert. Natuurlijk, als de warmte zich in het metaal voortplant, en men stopt met verwarmen en koelen, keert de temperatuur van de bol terug naar uniformiteit en wordt het uiterlijk weer regelmatig.
We creëren spanning in het materiaal, wat de geometrie verandert.
Dit spanningsveld kan worden beschreven door een wiskundig object dat een tensor T wordt genoemd.
De geometrie van het object zou kunnen worden berekend uit een veldvergelijking, vergelijkbaar met de vergelijking van Einstein.
(46)
S = a T
waarbij a een constante is en S een geometrische tensor, die de geometrische kenmerken beschrijft.
De beste manier om de oplossing te "lezen" zou zijn om het geodetische systeem te berekenen. We kennen de geodeten van de bol, maar de geodeten van een ei zijn anders. Om deze geodeten uit te drukken, hebben we een coördinatenstelsel nodig. Voor een bol kunnen we een (q,j)-stelsel gebruiken:
(47)
In dit specifieke coördinatenstelsel kan de geodetische lijn van een bol in een specifieke vorm worden uitgedrukt. Als voorbeeld: de curves
q = constant (meridianen)
zijn geodeten. Maar de curves
j = constant (parallellen)
zijn geen geodetische curves van dat oppervlak.
We zouden een vergelijkbaar coördinatenstelsel op het oppervlak "ei" kunnen definiëren. Maar iets is evident: het geodetische systeem bestaat onafhankelijk van zijn wiskundige representatie (in een gegeven, specifiek coördinatenstelsel).
Het geodetische systeem is coördinateninvariant.
Een ander voorbeeld is veel eenvoudiger. Beschouw de geodeten van een plat vlak. Dit zijn rechte lijnen. We kunnen deze rechte lijnen beschrijven in cartesische coördinaten:
(48)
We kunnen deze familie van geodeten ook beschrijven in polaire coördinaten. Dan zijn de vergelijkingen volledig anders, maar ze verwijzen naar dezelfde familie van rechte lijnen. Deze rechte lijnen, geodeten van het platte vlak, bestaan onafhankelijk van de gekozen coördinaten. Het zijn coördinateninvariante objecten.
De vergelijkingen zijn geen intrinsiek attribuut.
Is er iets dat niet verandert wanneer we van het ene coördinatenstelsel naar het andere gaan?
Ja: het geodetische pad, tussen twee punten M1 en M2 verandert niet. Hetzelfde geldt voor elke lijn die op het oppervlak is getekend. Het oppervlak, de punten, de curve die hen verbindt, bestaan onafhankelijk van de gekozen coördinaten. Hetzelfde geldt voor de lengte van het pad tussen M1 en M2. Dit is ook waar voor een geodetische boog, die een specifieke lijn is die twee punten verbindt:
(49)
Trouwens, dit geodetische pad is ook een extremum-pad (bijvoorbeeld het kortste, zoals daar getoond).
Dit is vergelijkbaar voor de ruimtetijd-hypersurface, die zijn eigen systeem van geodeten heeft, ook coördinateninvariant. Op deze hypersurface bestaat een lengte s, die tot het object behoort en onafhankelijk is van het gekozen coördinatenstelsel.
Het moeilijke punt is dat ruimte en tijd geen onafhankelijke grootheden zijn. We leven niet in een 3D-ruimte, met punten (x, y, z). We behoren tot een 4D-hypersurface die volledig wordt beschreven door zijn systeem van geodeten. Beschouw twee verschillende punten van deze hypersurface M1 en M2.
Dergelijke punten kunnen worden beschreven in een gegeven stelsel van vier coördinaten:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1)
M2 ---> (x2, y2, z2, t2)
Deze punten worden gebeurtenissen genoemd. We kunnen de geodetische curve berekenen die hen verbindt, als er een is. Dergelijke gebeurtenissen zijn niet identiek. Tussen de twee kunnen we een afstand s meten, die coördinateninvariant is. Deze lengte wordt genoemd:
eigen tijd s
Stel dat jij en ik een ruimteschip gebruiken om te reizen, van een punt M1 naar een ander punt M2, gelegen in de ruimtetijd.
s is de maat van de tijd op ons boordhorloge.
Je zult argumenteren:
- Maar ruimte bestaat, toch?
- Wees voorzichtig. Deze definitie van wat we ruimte en "absolute tijd" noemen, komt overeen met een willekeurige keuze. Het zijn slechts enkele handige manieren om het oppervlak te "lezen", zoals toen we de vergelijking van rechte lijnen, op een plat vlak, in twee verschillende vergelijkingen schreven. Het enige dat niet verandert, wat coördinateninvariant is, is het eigen tijdsinterval Dt tussen twee gebeurtenissen die verbonden zijn door een ander coördinateninvariant object: een geodetische lijn. De zogenaamde "absolute tijd" t is niets anders dan een enigszins willekeurige chronologische marker.
Door je coördinatenstelsel te veranderen, verandert de leeswijze van de gebeurtenissen. In de artikelen die we op deze website zullen presenteren, zul je zien dat dit een echt probleem is.
Hoe dan ook, je begrijpt waarom fysici en wiskundigen een coördinateninvariant formalisme hebben gekozen, gebaseerd op tensoren.
Tensorvergelijkingen zijn coördinateninvariant.
Dit is de geest van de algemene relativiteitstheorie. Maar, behalve door gebruik van geavanceerde hardware, is het moeilijk om je er meer over te vertellen.
