| 10 |
Daarentegen bestaan echte intrinsieke singulariteiten op oppervlakken.
Het zijn echte geometrische singulariteiten: (55)
(56)
(57)
Enzovoort...
Een vouw is trouwens een bijzondere regio van een oppervlak waar
lineaire kromming geconcentreerd is. Op figuur (57), links, hebben we een negatieve
lineaire kromming. Op rechts een positieve lineaire kromming.
We hebben in elke subfiguur twee delen van een bol gebruikt. Het
globale object heeft dezelfde topologie als de bol, wat betekent dat de totale
hoek-kromming 4p
is.
Stel dat het object aan de linkerkant is gebouwd met twee delen van
bollen die elk een hoek-kromming van 3p bevatten.
3p +
3p = 6p
Dit is te veel. De (negatieve) lineaire kromming moet dit dan
compenseren, om de vereiste eindwaarde 4p
te geven:
Als conclusie bevat onze vouw een negatieve kromming
:
- 2p
.
Deze kromming is gelijkmatig verdeeld langs de cirkelboog, langs de vouw.
Keren we terug naar figuur (57). We hebben driehoeken afgebeeld,
gebouwd met geodetische lijnen. Maar je kunt een vouw zonder problemen oversteken
met een (smal) plakband. Je weet hoe je de som van de drie hoeken van de
driehoek kunt berekenen, voorspellen. Je hoeft alleen de oppervlakte van de
driehoek te vergelijken met de oppervlakte van de bol. De overtollige kromming is:
(58)
Maar je moet rekening houden met de (negatieve of positieve)
kromming die zich bevindt in het deel van de vouw, in de boog mn. Het is:
(59)
Stel dat een soort lens, rechts op figuur (57), is
gebouwd uit twee delen van een bol, die elk een hoek-kromming van p
bevatten. Als we de vouw vergeten, bevat deze set van twee bollen delen dus een
hoek-kromming van 2p
. Maar deze lens heeft een sferoïdale topologie. De bijdrage van de hoek-kromming
moet 2p
zijn. Dus:
2p +
2p = 4p
( totale kromming van de bol )
Je kunt ook de som van deze vreemde driehoek voorspellen,
gevormd door drie geodetische lijnen. De boog mn bevat de lineaire hoek-kromming
:
(60)
Bij het meten van de hoeveelheid hoek-kromming die zich
in de vouw bevindt, binnen de driehoek, kan men de afwijking van de
euclidische som, die p is, inschatten.
Je ziet dat je deze krommingsproblemen op oppervlakken
relatief eenvoudig kunt behandelen.
Een oppervlak kan kegel-punten hebben, of vouw-lijnen. Dit
zijn intrinsieke singulariteiten, niet deze kunstmatige singulariteiten, veroorzaakt
door een bepaalde keuze van coördinaten. Merk op dat we de vouw kunnen gladstrijken. Dan krijgen we een pinda
:
(61)
Dit is vergelijkbaar met het gladstrijken van het puntvormige
toppunt van een kegel (geconcentreerde hoek-kromming), waarbij het object wordt
omgevormd tot een stompe kegel (hoek-kromming weergegeven op een deel van een bol).
Stel dat de twee bollen delen, boven op figuur (61),
elk 2/3 van een bol vertegenwoordigen, dus een kromming van
(62)
Het grijze deel van de "pinda" bevat negatieve kromming.
Precies:
(63)
