a111

Representatieruimte.

We hebben in een voorgaande paragraaf gezien dat een cilinder plat kan worden gemaakt. Neem nu een stuk papier, een vlak vel. Dit is een euclidisch oppervlak. Je kunt er geodetische lijnen op tekenen. Kruis het nu.
(64)

Als je dit gekreukelde oppervlak stijf zou kunnen maken en geodetische lijnen erop zou kunnen tekenen, met plakband, zou je het dezelfde systeem tegenkomen! Het oppervlak was niet echt veranderd. Als een bewoner in een dergelijk "Flatland" zou leven, zou hij het kreukelingsproces misschien niet kunnen begrijpen. Alles zou voor hem normaal blijven, zoals het leven voor hem nu is: het volgen van de geodetische lijnen van zijn 2D ruimtetijd-oppervlak, bijvoorbeeld.

Door het vel te kreukelen, heb je alleen het representatiesysteem gewijzigd, de manier waarop het 2D-oppervlak in de 3D euclidische ruimte is ingebed.

Een eenvoudigere wijziging is het omvormen van een vlak metalen vel tot een gegolfd oppervlak. Zie figuur (65)
(65)

Veel jaren geleden was ik op een grote markt in Addis Abeba, Ethiopië. Daar is metaal zeldzaam. Je vindt fabrieken waar jonge mannen gegolfde ijzeren oppervlakken omvormen tot vlakke platen, met behulp van een eenvoudige hamer. Als een van hen een geodetische lijn had getekend voor de operatie, zouden we hebben gevonden dat het geodetische systeem onveranderd zou zijn.

Maar, om eerlijk te zijn, ben ik niet echt zeker dat dit soort jongens weten wat een geodetische lijn is, vanuit een wiskundig oogpunt, uiteraard. Elke persoon die manden bouwt, gebruikt geodetische lijnen, natuurlijk.

Ik herinner me dat ik een leraar in mandenweven was, op een vakantiekamp, in de buurt van Burlington en Lake Champlain, Vermont ... vele jaren geleden.

Houd in gedachten dat geometrische objecten hun eigen bestaan en eigenschappen hebben, die onafhankelijk zijn van de manier waarop je ze voorstelt, in een ruimte met een hoger aantal dimensies. Gekreukeld of niet, een vel is een vel, dat wil zeggen een euclidisch oppervlak.

We veronderstellen dat we in een 4D-hypersurface leven. We veronderstellen allemaal dat we hetzelfde leven, trouwens. Maar mijn vrouw Claire, die een zeer charmant persoon is, is overtuigd dat ik in een ruimte met meer dimensies leef (vijf, denkt ze). Dit veroorzaakt soms enkele moeilijkheden voor de communicatie wanneer ik ergens in mijn persoonlijke vijfde dimensie verblijf.

Maar leven vrouwen echt in een 4D-hypersurface? Soms ben ik er sceptisch over, maar dat is een ander onderwerp.

Geef toe dat je in een 4D-hypersurface leeft en volg de geodetische lijnen van deze ruimtetijd, die je volgt zoals een os die zijn voren volgt.

Stel nu dat je God bent. Je wilt een volledige representatie van deze 4D-hypersurface. Dan heb je minstens één extra dimensie nodig. Persoonlijk denk ik dat, als God bestaat, hij in een tien-dimensionale hyperwereld moet leven. De volgende argumenten zullen worden ontwikkeld in Geometrical Physics B, en komen uit de groepstheorie.

Heeft God een groepstructuur?

Praktisch gezien berekent de specialist van de algemene relativiteitstheorie een oplossing van een veldvergelijking (Einsteins oplossing). Dan onderzoekt hij het geodetische systeem. Dit zijn "rechte 4D-lijnen". In de ruimtetijd, als je geodetische lijnen volgt, is de algemene regel:

• Ga recht! Sla niet links of rechts af.

Je gehoorzaamt, alleen omdat je niets anders kunt doen. Afslaan is nonsens in de ruimtetijd. Alles, iedereen "gaat recht".

Maar dingen, paden, trajecten, lijken gebogen voor onze 3D-ogen. We lezen dit in onze mentale ruimtere-presentatie. We staan voor de muur van Plato's grot, kijkend naar dansende 3D-schaduwen.

Laten we terugkeren naar ons 2D didactische beeld, naar de stompe kegel. Het wordt verondersteld ruimte voor te stellen in de buurt van een massa-concentratie (grijs gebied). We nemen aan dat dit overeenkomt met een stationaire toestand.

We kunnen sferische coördinaten (r, q, j) gebruiken als ruimtemarkers (in 3D). In 2D hebben we er slechts twee: (r, q).

Dan kunnen we de figuur op een vlak projecteren en dezelfde set polaire coördinaten gebruiken. Zie de volgende figuur.

(66)

Zoals hierboven gezegd, is het oppervlak van de stompe kegel een ruw didactisch model, dat een bijzondere oplossing van de Einstein-veldvergelijking suggereert

(67)

S = c T

gebouwd in 1917 door Schwarzschild. Dit is een briljant en slim werk. Alleen om te zeggen dat, in die tijd, Albert niet een eenzaam genie was, verloren op een verlaten eiland. Veel mensen denken dat de grote Duitse wiskundige Hilbert de "Einstein-vergelijking" heeft uitgevonden. Sommigen hebben gesuggereerd dat mevrouw Einstein efficiënt kan hebben bijgedragen aan de opbouw van de speciale relativiteitstheorie, die natuurlijk voortkomt uit het werk van Poincaré en Lorentz (als je naar Einsteins werk kijkt, zul je zien dat hij zelden andere mensen vermeldt).

Schwarzschilds oplossing is een mijlpaal van de algemene relativiteitstheorie. Men gebruikt het om de relativistische trajecten van planeten rond de zon te berekenen, wat de precessie van het perihelium van Mercurius aantoont.

Iedereen zou onmiddellijk zeggen:

• Waarom heeft Schwarzschild dat niet zelf berekend?

Er was een zeer goede reden voor dit: Hij was dood.

Schwarzschild was een patriot en stond erop om naar het front te gaan, in 1917. Daar werd hij vergast en stierf later. Einstein zette het werk voort, wat "de Einstein-theorie" werd.

Het was een stationaire toestand-oplossing. Later probeerde Einstein een model van het universum te bouwen, waarbij kromming kon worden geïdentificeerd met de energie-materie-inhoud. Maar, op dat moment, wist niemand dat het universum niet-stationair was. Albert probeerde een stationaire toestand-model te bouwen, maar de dingen waren niet zo goed. Toen bezocht hij Élie Cartan, een grote Franse wiskundige, die aanbeval om een constante toe te voegen aan de veldvergelijking, wat Einstein deed.

Toen bedacht een Russische zweefvlieger genaamd Friedmann een niet-stationaire oplossing. Ongeveer in dezelfde periode ontdekte Edwin Hubble de roodverschuiving en niet-stationaire kenmerken van het Universum. Einstein was zeer teleurgesteld en zei:

• Als ik had geweten dat het Universum niet stationair was, zou ik de oplossing vóór Friedmann hebben gevonden!

Als, zei de Lacedemonier altijd.

Maar dat verhaal eindigde niet daar. In eerste instantie had Friedmann de cyclische oplossing gebouwd, een van de drie die de "Friedmann-modellen" vormen.

Einstein bleef jarenlang stil. Daarna, na Friedmanns dood, publiceerde hij het "Einstein-de Sitter-model", "de parabolische Friedmann-oplossing".

Later diende een jonge Poolse onderzoeker genaamd Kaluza een artikel in bij "Professor Einstein", die weigerde het meer dan een jaar te publiceren. Kaluza klaagde bij Einstein, die antwoordde:

• Je moet deze theorie beter bekijken. Ik ben sceptisch.....

Veel jaren later werd Kaluza's idee (het toevoegen van een vijfde dimensie aan de ruimtetijd) het startpunt van geavanceerde werken (inclusief de superstring-aanpak). Zie Geometrical Physics B.

Nou, Albert was niet zo'n sportman......

Laten we terugkeren naar het 3D-model van de stationaire toestand dat overeenkomt met de ruimtetijd-geometrie rond de zon. De berekening geeft geodetische lijnen die in vlakken liggen. Als het krommingseffect moderat is, en de snelheid klein ten opzichte van de lichtsnelheid c, komt hun projectie, in een representatieve euclidische ruimtetijd, overeen met quasi-Keplerse paden en Kepler's wetten. We kunnen de tijd vergeten en deze geodetische lijnen in vlakken voorstellen, gebruikmakend van polaire coördinaten.

r = f (q).

In de Schwarzschild-oplossing is er, in feite, twee gekoppelde "metrische oplossingen", zoals vermeld op figuur (68). Binnen het "massieve lichaam" wordt de massadichtheid r verondersteld constant te zijn. Daar is de energie-materie T-tensor niet nul. Maar, buiten, zijn r en T nul.

(68)

Dit is een samengestelde geometrie. In 3D toont de massadichtheid een abrupte discontinuïteit op het oppervlak (verondersteld een bol te zijn) van de "massaconcentratie". Dit is vergelijkbaar met de discontinuïteit van de hoek-krommingsdichtheid op het oppervlak (niet nul in het grijze gebied, nul buiten. De grens wordt een S1-bol, dat wil zeggen een ... cirkel).

In 4D kan de wiskundige link worden gebouwd, om de continuïteit van de geodetische lijnen te garanderen. Dit is vergelijkbaar met het verbindingsdeel van een boldeel van een positief kegel.

Wanneer de massa belangrijk wordt (wat niet kan worden beschreven door ons ruwe 2D didactische model), zijn de gesloten paden niet langer elliptisch.

Zie figuur (69). Deze tekening komt overeen met de traject van een ruimtevaartuig rond een neutronenster.

De traject van Mercurius rond de zon is vergelijkbaar, maar de precessie van het perihelium van de elliptische paden is 0,15° per eeuw.

(69)

Op een dag zullen we de formules en het programma opnemen die het mogelijk maken om met dit probleem te spelen. Het is niet erg moeilijk.

Enkele wiskundige informatie aan het einde van deze pagina en op de volgende, als je wilt kun je direct naar pagina 13 gaan