a122

Geometrische context.

Een bol is een tweedimensionaal geometrisch object. We hebben twee grootheden, twee getallen, twee scalairen nodig om een punt erop te lokaliseren.

Een bol is een oppervlak dat een topologie bezit. Zijn topologie verschilt van die van de torus.

Beide bezitten geodetische systemen. Zoals opgemerkt in een vorige sectie, kunnen we twee verschillende punten M1 en M2 op een bol vaststellen en een kromme die hen verbindt. Vervolgens kunnen we de lengte langs dit specifieke pad meten. Dit is een coördinateninvariante grootheid. Een S2-bol bestaat onafhankelijk van enige 3D-representatieruimte. Maar we kunnen ze in onze vertrouwde Euclidische 3D-ruimte projecteren, waarin we verondersteld worden te leven. Dan kunnen we een centrum aan deze bol geven en al haar punten ermee verbinden. Zie figuur (116). Elk punt komt overeen met twee hoeken: q en j.
(116)

We hebben een gat in de bol gecreëerd om de vectoren OM te tonen, waarbij O het centrum is en M een punt op de bol.

Nu, in figuur (117), behouden we de vectoren en vergeten we de bol.

(117)

Deze halve rechte lijnen zijn oneindig, maar we hebben ze afgebeeld als afgekapt op een gegeven lengte, die overeenkomt met de straal R van onze bol. Elke rechte lijn komt overeen met een paar (q, j).
De metrische structuur is verdwenen. Geen geodetische lijnen, geen lengte. Wat blijft er over?

Elke van deze halve rechte lijnen heeft buren, die haar omgeving vormen. Elke halve rechte lijn kan worden voorgesteld als ingesloten in een reeks kegelstomp (figuur (118)).

(118)

Rondom elke lijn kunnen we zoveel kegelstomp-lijnen plaatsen als we willen. Tussen twee van deze kegelstompen kunnen we altijd een andere plaatsen. Dit suggereert intuïtief het concept van differentieerbaarheid. In een dergelijk geometrisch object is er geen discontinuïteit.

Nu, vergeten we de bol en nemen we een vlak oppervlak. Het is een verzameling punten. Welk coördinatenstelsel ik ook kies, ik kan de punten definiëren met twee grootheden: (x,y), (r,q), enzovoort.

Een paar reële getallen. Deze worden gekozen uit R2, dat wil zeggen uit de verzameling reële getallen, zoals (3,8705, -17,56).

Elk paar reële getallen (x; y) bezit een oneindig aantal buren (x + Dx; y + Dy).

Deze "pre-metrische" objecten worden door wiskundigen variëteiten genoemd.

Het is vrij moeilijk om na te denken over een dergelijk "flexibel" medium. In (119) hebben we een star, vlak oppervlak afgebeeld, met metrische eigenschappen en, eronder, de schaduw van zijn punten.

(119)

Een schaduw heeft geen eigen vorm, noch omvang. Het hangt af van het scherm en de productie van lichtstralen. Op figuur (120) suggereren we de relativiteit van de schaduw, ten opzichte van het object.

(120)

Deze "parallelle lijnen" zijn vergelijkbaar met die stralen die we hebben geïntroduceerd, om de punten van een bol aan zijn centrum te verbinden. Hier zijn de punten van het vlak "verbonden" met een "bron" die zich op oneindig bevindt.

Geef deze laatste idee van rechte lijnen op. Beschouw een bundel gekookte spaghetti (als ze dat niet zijn, zouden ze star en breekbaar moeten zijn). We kunnen er een bocht in maken. Maar we leggen op dat de spaghetti's samen blijven. Hun omgeving mag niet worden gewijzigd.

(121)

Alles is zeer grof, ik weet het, en niet volledig rigoureus. Ik probeer de lezer slechts te suggereren wat een variëteit kan zijn, een geometrisch object zonder metriek, waarbij de belangrijkste eigenschap is dat elk punt buren heeft.

Een variëteit is een verzameling punten m. Ik kan me voorstellen dat ik elk punt van een variëteit associeer met een paar (M1, M2) van punten, die tot echte oppervlakken behoren, die metrische eigenschappen, lengte, enzovoort bezitten....

Ik noem de n-dimensionale variëteit een skelet-variëteit en de geassocieerde n-dimensionale oppervlakken simpelweg plooien. Dan bouw ik de

twee-plooien bedekking van een variëteit.

Op figuur (122) de twee-plooien bedekking van een variëteit m2 (twee dimensies).

(122)

In (122) heb ik identieke, parallelle Euclidische plooien (vlakken) met dezelfde metrieken afgebeeld. Maar ik kan figuur (123) bouwen:

We zullen M en M* geconjugeerde punten noemen. Het bouwen van deze twee plooien uit een "skelet-variëteit" heeft een duidelijke betekenis: aan elk punt M van de plooi F kunnen we één en slechts één geconjugeerd punt M* associeeren. Er is een punt-tot-punt afbeelding. Dan kunnen we de skelet-variëteit vergeten.

Aan de omgeving van elk punt van de plooi F komt de omgeving van zijn geconjugeerde punt M* overeen. Zie figuur (124). Dit betekent dat aan elke regelmatige regio van F een geconjugeerde regelmatige regio correspondeert die tot F* behoort.
(124)

Dit toont in het bijzonder dat de geconjugeerde punten M en M* door dezelfde set coördinaten worden beschreven.