| 24 |
Gekoppelde krommingen.
Hoe kunnen we 3D-ruimtes begrijpen, met lokale positieve of negatieve kromming?
Begin met 2D-oppervlakken. Beschouw een bol en spijker ergens op een nagel, zoals getoond in figuur (125). Bevestig een draad, met lengte L, die de nagel en een potlood verbindt. We kunnen dit gebruiken om een cirkel te tekenen, een parallel van de bol. Een parallel van een bol is de verzameling van de punten die op dezelfde afstand L van een gegeven punt S liggen.
We kunnen vergelijkbare operaties uitvoeren (figuren (125)):
- Op een zadel
- Op een vlak.
(125)
Op het vlakke oppervlak is de omtrek 2πL terwijl het oppervlak van de schijf πL² is.
Op de bol zijn de omtrek en het oppervlak van de schijf kleiner. Op het zadel zijn ze daarentegen groter.
Beschouw een bol en een parallel die samenvalt met zijn evenaar. Zie figuur (126). De waarden corresponderen met figuur (126).
(126)
Het oppervlak van de schijf is 3,875 keer groter dan het corresponderende (grijze) deel van de bol. Zijn omtrek is 1,57 keer langer dan de lengte van de evenaar.
Vergelijkbare tests zouden de negatieve kromming van het zadel tonen. Als we een gesloten curve tekenen, een verzameling van punten op dezelfde afstand L van een gegeven punt, op een zadel, is het oppervlak van deze schijf met negatieve kromming groter dan het oppervlak van een vlakke schijf πL². Evenzo is de omtrek van de schijf met negatieve kromming groter dan die van de vlakke schijf: 2πL.
Geometrie is een wetenschap voor blinden. Geometrische wetenschappers proberen tests te construeren die bewoners van een gegeven ruimte kunnen uitvoeren om zelf de geometrische eigenschappen ervan te ontdekken. Uit de voorgaande figuren kunnen de bewoners van een tweedimensionaal oppervlak, niet in staat om dit oppervlak vanuit een extern standpunt te zien (voor hen die erin leven), via oppervlakte- en lengtemetingen ontdekken of het deel van het oppervlak waarin ze leven een positieve lokale kromming, een negatieve lokale kromming, of een nul lokale kromming (euclidische ruimte) bezit.
Merk op dat er oppervlakken zijn waarvan de lokale kromming positief, nul of negatief kan zijn. Voorbeeld: een torus.
(126ter)
Vergelijkbare methoden gelden voor 3D-ruimtes. Kies een punt O, ergens. Neem een draad, een "potlood", en gebruik het om de verzameling van de punten te tekenen die op een gegeven afstand L van het beschouwde punt liggen. Je krijgt een bol en je kunt het oppervlak ervan meten. Als dit oppervlak in een euclidische 3D-ruimte is gebouwd, zal dit oppervlak zijn: 4πL².
Als dit oppervlak kleiner wordt bevonden, betekent dit dat deze 3D-ruimte niet euclidisch is. Het is een Riemann-3D-ruimte, met positieve kromming. Als we het volume meten, zullen we het kleiner vinden dan:
(127)
De situatie zal omgekeerd zijn als we te maken hebben met een 3D-ruimte met negatieve kromming. Het oppervlak van de bol, beschouwd als de verzameling van punten op een gegeven afstand L van een vast punt O, zal groter zijn dan 4πL². Het volume, binnen die gesloten oppervlakte, zal groter zijn dan (127).
Kosmologie is niet gebouwd op eenvoudige 3D-ruimtes, maar op 4D-hypersurfaces (met "hyperbolische signatuur") zodat een dergelijke presentatie beperkt is. We moeten het beschouwen als een ruw didactisch model.
De Riemann-scalar-kromming van een n-dimensionale ruimte is enigszins anders.
In ons huidige kosmologische model, zullen we aannemen dat de lokale scalar Riemann-kromming, bij gekoppelde punten (M, M) tegengesteld zijn:* (127bis)
R* = -R
De specialist zal meer details vinden in het artikel:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, march 1998.
Vervolgens, een nuttige 2D didactische afbeelding, die correspondeert met figuur 39.
(128)
Boven: een gladde posicone. Nul lokale (hoek)kromming in het deel van de posicone. Constante positieve (hoek)krommingsdichtheid in het (grijze) deel van een bol.
Onder: een "gladde negacone". Nul lokale (hoek)krommingsdichtheid in het deel van de negacone rond het zadel. Constante negatieve (hoek)krommingsdichtheid in het deel van het zadel, tegenover het deel van een bol.
De krommingen zijn gekoppeld. Tegenover elkaar, met punt-tot-punt correspondentie, nul lokale kromming delen van posicone en negacone.
Tegenover elkaar, met punt-tot-punt correspondentie, een constante positieve kromming oppervlak (een deel van een bol) en een negatieve kromming oppervlak (zadel). De krommingsdichtheden zijn gelijk en tegengesteld. De cirkelvormige grenzen zijn verbonden, punt tot punt.
Dit is een didactische afbeelding van ons kosmologische model. Voor meer wiskundige details, zie:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, march 1998.
