f103
| 3 |
|---|
De kromming (positief).
...Toen we ons driehoekje, bestaande uit geodetische lijnen, op een plat vlak tekenden, was de som van zijn hoeken gelijk aan p. Een vlak... is een vlakke, "niet-gekromde", euclidische oppervlak. De som van de hoeken van dit driehoekje is dus de euclidische som. In het vorige experiment zagen we dat als een driehoek het toppunt van onze kegel niet bevatte, de som euclidisch bleef. Maar wanneer de driehoek het toppunt S wel bevat, dan is deze som altijd groter met een excess q, ongeacht welke driehoek, zolang die punt S bevat. We zullen zeggen dat het toppunt van de kegel een punt van geconcentreerde kromming is.
...We kunnen nu overgaan tot andere experimenten. Nadat we twee kegels hebben gemaakt, met sneden q1 en q2, kunnen we deze twee oppervlakdelen aan elkaar plakken.
...Een eenvoudigere manier is om twee sneden te maken in een vel karton en het volgende oppervlak te vormen:
Op dit oppervlak kun je zoveel geodetische driehoeken tekenen als je wilt:
-
Geen van de punten S1 of S2 omvattend: som van de hoeken: p
-
Alleen S1 omvattend: som van de hoeken: p + q1
-
Alleen S2 omvattend: som van de hoeken: p + q2
-
Zowel S1 als S2 omvattend: som van de hoeken: p + q1 + q2
...Het is gemakkelijk in te zien dat we een groot aantal kleine kegels met een kleine hoek Dq kunnen maken en deze aan elkaar plakken. We kunnen zelfs zorgen voor een constante kromming per oppervlakte-eenheid, door de kromming te beschouwen als de som van alle Dq die bij elk toppunt van deze kleine kegels horen.
...Door deze kleine kegels steeds kleiner te maken (net als de elementaire hoek Dq die erbij hoort), kunnen we hiermee een stuk oppervlak bouwen met constante krommingsdichtheid.
De bol is een oppervlak met constante krommingsdichtheid. We zullen het eenvoudiger zeggen als een oppervlak met lokale constante kromming.
Een ei is een gekromd oppervlak met variabele krommingsdichtheid. We zullen het eenvoudiger zeggen als een oppervlak met lokale variabele kromming.
...De Algemene Relativiteitstheorie bestaat erin de massa-dichtheid r te identificeren met de lokale kromming. Natuurlijk behandelt de Algemene Relativiteitstheorie niet oppervlakken in twee dimensies, noch zelfs in drie, maar hyperoppervlakken in vier dimensies. We moeten dus niet te veel verwachten van het voorgaande, en deze figuren alleen als didactische beelden beschouwen, bedoeld om ideeën vast te zetten. Maar ze zijn niet zo slecht als het lijkt.
Didactisch 2D-beeld van een hemellichaam.
Een hemellichaam, zoals de zon, is een concentratie van materie, omgeven, althans, door een quasi-vakuum (dus een gebied met zeer kleine kromming). In twee dimensies is het didactische beeld dat van een afgeronde kegel.
...Een afgeronde kegel wordt gemaakt uit twee delen: een bolhoed met constante kromming (of "constante krommingsdichtheid") en een kegelafsnede. Deze kegelafsnede is "vlak", haar krommingsdichtheid is nul. Het is een euclidisch oppervlak. Het is het didactische 2D-beeld van een hemellichaam met constante massa-dichtheid r.
...Terzijde: hoe kunnen we een kegelafsnede en een bolhoed perfect aan elkaar koppelen, zodat de raakvlakken continu zijn?
...Het is eenvoudig. De kegelafsnede wordt gemaakt van een kegel, waarbij een hoek q wordt uitgesneden. De bolhoed bevat een bepaalde "hoeveelheid kromming", die ook een hoek is. Het is de som van alle hoeken van de kleine kegels waaruit hij bestaat. Deze twee hoeken moeten gelijk zijn.
Maar hoe kunnen we de hoeveelheid kromming in een gegeven bolhoed bepalen?
../../../bons_commande/bon_global.htm ...
Inhoudsopgave artikel Inhoudsopgave Wetenschap Startpagina
**
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004** :