f107
| 7 |
|---|
Geometrieën met elkaar verwant.
...We zullen dan een stompe positie en een "stompe negatie" koppelen, die dezelfde hoeveelheid kromming hebben, maar van tegengesteld teken: + q en - q. We kunnen ze tegenover elkaar plaatsen (waarbij we tegelijkertijd een "punt-voor-punttoepassing" creëren: bi-univoque, injectief). Er zijn dan twee bladen. Noem ze F en F*. Aan elk punt van F correspondeert een punt van F*.
...Zorg ervoor dat de cirkelvormige randen van de "stomp afgeronde delen", die kromming dragen (positief in één blad, negatief in het andere), punt voor punt overeenkomen. Dit illustreren we door alles te projecteren op een vlak. We krijgen dan twee oppervlakken met verwante krommingen.
...De kegelvormige flanken zijn "niet gekromd", het zijn elementen van euclidische oppervlakken. We zullen zeggen dat de lokale kromming op elk punt van deze oppervlakken nul is. De bolhoed en de paardesel corresponderen punt voor punt. Hun krommingen zijn tegengesteld.
De Algemene Relativiteitstheorie.
...Het uitgangspunt is het idee dat de geometrie van het kosmos wordt bepaald door zijn inhoud aan "energie-materie". Merk op dat we het woord energie-materie gebruiken en niet alleen materie, wat duidelijk maakt dat elk kosmisch element een invloed heeft op de geometrie, inclusief straling, fotonen (of neutrino’s). We hebben hierboven gezien dat een foton een kleine positieve kromming in de ruimte creëert.
...We zullen eerst redeneren in een stationaire situatie. Een vlakke, vrije oppervlak is een oppervlak waarop de spanning nul is. We kunnen de geometrie wijzigen door spanningen, positief of negatief, aan te brengen (het teken is een kwestie van conventies). Als ik bijvoorbeeld een kunststoffolie verwarm, kan ik er een bult in krijgen, dat wil zeggen een gebied met positieve kromming.
...Ik kan ook op het oppervlak van een vel papier een product aanbrengen dat, bij drogen, inkrimpt. De spanning zal een gebied met negatieve kromming veroorzaken.
...Een smid die metalen vormt, weet deze spanningen te gebruiken om een plaat te vervormen. Neem bijvoorbeeld een metalen buis. Ik verwarm één zijde en koel de andere af. Wat gebeurt er?
De buis zal zich buigen, de verwarmde kant zet uit en de gekoelde kant krimpt.
...Hierdoor hebben we spanningen in het metaal gecreëerd. Dat is de oorsprong van het woord tensore in wiskunde en meetkunde. De specialist in materiaalkunde zal spreken van spanningstensor. De meetkundige zal spreken van krommingstensor.
De kleine proef hierboven illustreert het idee:
Locale energie-inhoud -----> lokale geometrie
...In de Algemene Relativiteitstheorie doen we hetzelfde. Het verschil is dat deze lokale energie-materie-inhoud de geometrie bepaalt van een vierdimensionale hypersuperficie, in plaats van zoals hier, de geometrie van een tweedimensionale oppervlak. Maar het idee is vergelijkbaar.
...De wiskundige zal dan een tensorele notatie gebruiken. Hier kan ik voor een niet-wiskundige niet veel meer zeggen. Maar de Einstein-tensor S (we gebruiken vetgedrukte letters) komt overeen met het geometrische aspect. In de Einstein-vergelijking identificeren we hem met een andere tensor T, die de energie-materie-inhoud beschrijft, tot een multiplicatieve constante, de "Einstein-constante c", toe.
De beroemde Einstein-vergelijking luidt dus:
**S **= c T
...In de tensor T spelen de massadichtheid r en de druk p (in feite is de meest algemene tensor T complexer, maar we beperken ons tot deze gebruikelijke vorm). In een stationaire configuratie geven we dan een bepaalde verdeling van dichtheid en druk r (x,y,z), p (x,y,z). Met dit gegeven kunnen we de tensor T construeren, die zo alle gegevens van het probleem bevat. De vraag is dan: "Welke geometrie past bij deze tensor T, die aan bovenstaande vergelijking voldoet?"
...Met andere woorden, de fysicus, die de lokale inhoud van het universum kent, zoekt naar de geometrie van de hypersuperficie van het universum.
Wie spreekt over geometrie, spreekt over geodeten. Hier komt de tweede hypothese van de Algemene Relativiteitstheorie:
Men neemt aan dat objecten die door het universum bewegen
geodeten volgen van de ruimte-tijd hypersuperficie.
Onder object wordt verstaan deeltjes (elementaire deeltjes, fotonen, neutrino’s), maar ook planeten, sterren, enzovoort.
Op dit punt een opmerking: waar zijn de deeltjes in deze hele zaak?
...Antwoord: de specialist in Relativiteitstheorie werkt op macroscopisch niveau. De invoerfuncties van het probleem, de massadichtheid r en de druk p, corresponderen met een macroscopische beschrijving van de kosmische inhoud. Hetzelfde geldt voor de uitvoer. En de meetkundige voegt eraan toe:
- U hebt mij functies r (x,y,z) en p (x,y,z) gegeven, ik heb de bijbehorende hypersuperficie opgebouwd, met haar familie van geodeten. Maar verder kan ik niet. Ik ben bijvoorbeeld niet in staat om deeltjes, atomen, enzovoort te maken. Daarvoor moet u een ander dienstverlenende afdeling raadplegen...
Kortom: de brug tussen de Algemene Relativiteitstheorie en de deeltjesfysica is nog niet gelegd.
Maar de astronoom zegt:
- Wat maakt het uit. Deze aanname dat fotonen bepaalde geodeten van deze hypersuperficie volgen werkt. Bewijs: ik kan waarnemingen doen. Als ik aannem dat planeten, geïdentificeerd als puntmassa’s, ook geodeten van deze hypersuperficie volgen, kan ik hun banen construeren. Er zijn ook gravitatie-lenzeffecten....
Hij heeft gelijk.
...Laten we een paar woorden zeggen over deze gravitatie-lenzeffecten. Natuurlijk is deze afbeelding van de stompe kegel slechts een didactische illustratie. Een planeet die cirkelvormig om een ster draait, volgt ook een geodeet van ruimte-tijd. Maar een cirkel getekend op een stompe kegel is geen geodeet:
Dit toont alleen de beperkingen van didactische afbeeldingen, hoe meetkundig ze ook zijn.
...Fotonen volgen inderdaad geodeten van de ruimte-tijd hypersuperficie. We kunnen deze afbeelding van de stompe kegel gebruiken om dit te illustreren. Lichtstralen kunnen aan beide zijden van een zware massa passeren en dan convergeren naar de waarnemer. Als we deze geodeten projecteren, krijgen we een mirage-effect: de waarnemer denkt dat er twee bronnen zijn in plaats van één:
../../../bons_commande/bon_global.htm Inhoudsopgave artikel Inhoudsopgave Wetenschap Startpagina
Voorgaande pagina Volgende pagina
Aantal keer dat deze pagina is bekeken sinds 1 juli 2004** :