f108
| 8 |
|---|
Invariant onder coördinatentransformaties.
...Dit is een kernconcept van de Algemene Relativiteitstheorie, dat niet eenvoudig te verklaren is. We hebben gezegd dat het zoeken naar een "kosmologische oplossing", stationair of niet-stationair, neerkomt op het bouwen van een vierdimensionale hypervlak dat een "oplossing van het veldvergelijking" is.
...Neem bijvoorbeeld een object van plaatstaal dat de topologie van een bol heeft. Het is "een bol van plaatstaal". Opnieuw is het duidelijk dat je deze oppervlak kunt vervormen door op bepaalde plekken te verhitten en te koelen. Bijvoorbeeld door op één punt te verhitten en de tegenoverliggende regio te koelen, zou deze bol in een eitje veranderen. Een eitje is een object dat de topologie van een bol heeft, maar dat een oppervlak is met variabele kromming.
...Door op één plek te verhitten en op een andere plek te koelen, ontstaan er spanningen in het metaal. Natuurlijk, omdat dit materiaal geleidend is, als we ophouden te verhitten en te koelen, zou de temperatuur uniform worden en zou het object zijn oorspronkelijke bolvorm terugkrijgen. Wat belangrijk is, is dat we een stationaire situatie kunnen creëren met een veld van niet-uniforme temperatuur. Dit veld veroorzaakt spanningen en we kunnen deze spanningen concretiseren in een wiskundig object T, genaamd tensoren.
Iets beschrijft de geometrie van het object. Dit heet een metriek. Vanaf dit tweede wiskundige object kunnen we:
- Berekenen van de geometrische tensor S - Berekenen van de geodeten van het oppervlak.
De geometrie van dit oppervlak kan worden berekend aan de hand van een vergelijking die lijkt op de Einstein-vergelijking, van de vorm:
S = a T
waarbij a een constante is. Als we a priori het temperatuurveld in de plaat kennen, dus de spanningstensor, kunnen we hieruit de geometrie afleiden. De beste manier om deze geometrie te "lezen", is door het systeem van geodeten te analyseren. We kennen die van de bol (de zogenaamde "grote cirkels"). De geodeten van een eitje zijn anders.
...Om deze geodeten te beschrijven, hebben we een coördinatensysteem op het oppervlak nodig. Voor de bol kunnen we het klassieke azimutale coördinatensysteem nemen.
...In dit specifieke coördinatensysteem zouden de geodeten van de bol bepaalde vergelijkingen corresponderen.
Op deze bol vertegenwoordigen de krommen q = Cte de familie van geodeten die door twee punten lopen. De krommen j = Cte (parallellen) zijn echter geen geodeten van het oppervlak.
...We kunnen ook een vergelijkbaar coördinatensysteem definiëren en de vergelijkingen van de geodeten van het "ei"-oppervlak opschrijven. Maar onmiddellijk merken we iets belangrijks op: de geodeten van het oppervlak zijn onafhankelijk van de gekozen coördinaten, net zoals de punten van een bol of een ei bestaan, onafhankelijk van het coördinatensysteem dat we gebruiken om ze te lokaliseren.
...Op een vlak kunnen we punten ook voorstellen in cartesiaanse of poolcoördinaten. De rechte lijnen van het vlak zijn geodeten.
Een rechte lijn kan in twee coördinatensystemen worden beschreven:
...Het gaat hier om de zelfde geodeet, met twee volledig verschillende beschrijvingen. De rechte lijnen van het vlak bestaan onafhankelijk van de manier waarop ze worden beschreven, van de keuze van de coördinaten. En we kunnen er... een oneindig aantal bedenken.
...Dan, wat is dan intrinsiek? Antwoord: de lengte s gemeten op een rechte (of langs een willekeurige kromme). Tussen twee punten M1 en M2 van een oppervlak is de kortste route een geodeet.
...Op dezelfde manier is de afstand tussen twee punten, op een geodeet van de objecten "bol" of "ei", ook een grootheid die onafhankelijk is van het gekozen coördinatensysteem. Als we twee punten M1 en M2 op een oppervlak nemen en de geodeet trekken die ze verbindt, zal de lengte s die langs deze boog wordt gemeten, hetzelfde zijn, ongeacht het coördinatensysteem dat wordt gebruikt om de punten te lokaliseren.
...Hetzelfde geldt voor de vierdimensionale hypervlak die we "universum" noemen. Het heeft zijn eigen systeem van geodeten, ook invariant onder coördinatentransformaties. We wonen niet in een ruimte (x, y, z, t) met positiecoördinaten en een tijdscoördinaat, maar in een vierdimensionale hypervlak dat volledig kan worden beschreven door zijn netwerk van geodeten. Op deze geodeten bestaat er een lengte s die ook invariant is onder coördinatentransformaties. De punten van deze hypervlak zijn geen punten van de ruimte, maar punten van een ruimte-tijd hypervlak. Ze worden gebeurtenissen genoemd. Twee verschillende gebeurtenissen zijn dus gescheiden door iets wat we s noemen. Maar wat is dat dan?
Dat is de eigen tijd .
...Een geodeet in dit ruimte-tijd hypervlak scheidt twee gebeurtenissen M1 en M2. Wat ik kan zeggen is dat als ik een voertuig had gebruikt om deze reis in de ruimte-tijd te maken, er een tijd s zou zijn verstreken op mijn borduurklok.
Een keuze van coördinaten bestaat erin de ruimte-tijd punten te lokaliseren met ruimtecoördinaten (x, y, z) en een tijdscoördinaat t. Maar aangezien deze keuze willekeurig is, heeft deze ruimte en tijd geen intrinsieke bestaansrecht. Ze zijn alleen manieren om de oppervlak te "lezen" of te doorlopen. Enige beperking: afhankelijk van de aangenomen hypothese, kun je alleen langs geodeten bewegen en op deze laatste is de enige betrouwbare maatstaf de "verstreken eigen tijd" s, en niet deze tijd t, die slechts een tijdsindicatie is (chronologische marker).
Voor elk coördinatensysteem is er een ander systeem om gebeurtenissen en fenomenen te lezen.
...Fysici hebben dus een formalisme gezocht dat onafhankelijk is van de keuze van coördinaten. Dit is de essentie van het tensore formalisme. Meer hierover kan niet worden gezegd, zonder in technische details te raken die relatief complex zijn.
Het probleem van singulariteiten.
Op een bol leidt de klassieke keuze van hoekcoördinaten tot twee polaire singulariteiten.
Het is onmogelijk om een bol te kaarten zonder deze soort polaire singulariteiten in te voeren.
...Let op dat je een bol ook met één enkele singulariteit kunt kaarten. Je maakt op de bol een eerste familie van krommen (cirkels) door de bol te snijden met vlakken, zoals hieronder aangegeven:
Vervolgens een tweede familie:
Buiten deze enige singulariteit is er geen probleem. Als je deze bol van de andere kant bekijkt, zie je dit:
...Buiten de enige singulariteit S, kun je de punten zonder problemen lokaliseren. Maar de waarden van de parameters a en b die deze mesh singulariteit S definiëren zijn ... willekeurig...
...Toch is een bol niet geometrisch, intrinsiek singulier. Draai een biljartbal of een ei in alle richtingen, je zult geen enkel singulier punt vinden.
Deze singulariteiten zijn dus veroorzaakt door de keuze van coördinaten.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Sommaire artikel Sommaire Science Startpagina
Voorgaande pagina Volgende pagina
**
Aantal keer dat deze pagina is bekeken sinds 1 juli 2004** :