f110
| 10 |
|---|
- *Representatieruimte.
...Men had gezien dat een cilinder een ontwikkelbare oppervlak is. Neem nu een vel papier. Dat is een vlakke, euclidische oppervlak. Zijn geodeten zijn rechte lijnen. Teken een paar rechte lijnen op dit vel papier, en vouw het vervolgens op.
...Als u deze opgevouwen vlakke oppervlak zou kunnen verharden, zou u merken dat deze bewerking de verdeling van zijn geodeten niet heeft veranderd, en u zou opnieuw uw plakband kunnen gebruiken om ze te tekenen. U hebt gewoon gespeeld met de manier waarop dit vlak in zijn driedimensionale inbeddingsruimte wordt voorgesteld.
Een minder ingewikkelde manier is om een plaat te transformeren in... een golfplaat:
Geodeten: onveranderd.
...De meetkundige objecten bestaan onafhankelijk van de manier waarop we ze ons voorstellen, onafhankelijk van hun representatieruimte .
...Wij zouden moeten wonen in een "quadri-dimensionale hypersuperficie": de ruimte-tijd. De Algemene Relativiteitstheorie bestaat erin om de geometrie van deze ruimte-tijd te bouwen, als oplossing van een veldvergelijking, en vervolgens deze geometrie te "lezen", door de geodeten van de hypersuperficie te analyseren. Het is duidelijk dat het hier niet meer gaat om een representatieruimte. Daarvoor zou men een zicht in vijf dimensies nodig hebben, wat wij niet bezitten.
...In de praktijk gebruiken we coördinaten die van het euclidische ruimte zijn, van de projectie. Stel dat we op zoek zijn naar een meetkundige oplossing die de ruimte-tijd in de buurt van een zware lichaam en binnenin dat lichaam kan beschrijven. We zullen aannemen dat het systeem de sferische symmetrie heeft. Bovendien zullen we aannemen dat dit systeem stationair (of quasi-stationair) is.
...Dan zullen we de sferische coördinaten (r, q, j) gebruiken. In twee dimensies zullen we er maar twee hebben en onze symmetrie zal cirkelvormig zijn. Dan zullen we het systeem van poolcoördinaten van het vlak gebruiken:
...Dit model van het afgeronde lichaam is een didactische 2d-afbeelding van een stationaire oplossing die werkelijk bestaat in de Algemene Relativiteitstheorie en die in 1917 door de Oostenrijker Schwarzschild is bedacht als een speciale oplossing van "de Einsteinvergelijking":
S = c T
die al eerder is voorgesteld. Deze oplossing is slim en subtiel. Van berekeningsuitvoering is het niet eenvoudig om te bouwen. Deze precisie om een mythe te verjagen: de mythe van een Einstein, een genie in zijn tijd, omringd door onwetenden.
...Vanaf deze oplossing blijkt dat er, rondom een massa met sferische symmetrie, geodeten vlakke zijn, gelegen in vlakken, en dat hun vorm: r = f (q) kan worden berekend. Deze banen (of ten minste hun projectie in ons mentale euclidische representatieruimte) zijn "quasi-Kepleriaans" en de wetten van Kepler verschijnen dan als een benadering, wanneer de massa die deze geometrie creëert (in de newtoniaanse visie, deze "kracht") beperkt blijft, dat wil zeggen dat de lokale kromming in deze massa nog steeds klein blijft.
...Deze oplossing is een van de kernpunten van de Algemene Relativiteitstheorie en, hoewel dit niet kan worden uitgelegd met eenvoudige didactische beelden zoals die we aan de lezer bieden, is het deze oplossing die het mogelijk maakt om bijvoorbeeld de vooruitgang van het perihelium van Mercurius te voorspellen en te berekenen. Einstein gebruikte deze oplossing om dit effect te verklaren, dat al bekend was en verkreeg tegelijkertijd alle lof voor wat nu "de theorie van Einstein" werd genoemd. Waarom heeft Schwarzschild zijn ontdekking niet zelf gebruikt? Omdat hij absoluut wilde meedoen en naar de loopgraven ging, waar hij vergast werd en kort daarna stierf.
...Men is trouwens niet zeker of deze beroemde Einsteinvergelijking echt van hem is. Het lijkt erop dat deze hem door de grote wiskundige Hilbert is voorgesteld. Einstein ontving ook niet met enthousiasme de latere ontdekking van de Rus Friedmann, die, zoals hijzelf, de niet-stationaire oplossing van de veldvergelijking vond die de evolutie van het universum beschrijft. Hetzelfde geval, in 1921 voor de werk van de jonge wiskundige Kaluza, waarvan de werk, herontdekt, nu het uitgangspunt is van de superkoordentheorie. Deze dingen zijn wetenschappelijk van weinig belang en verminderen op geen enkele manier de waarde van Einstein, maar laten zien dat het sportieve geestje niet per se met de wetenschappelijke waarde van een individu samenvalt.
In de oplossing van Schwarzschild is de ruimte technisch gesproken in twee delen. Binnen de ster is de materiedichtheid r constant verondersteld. De energie-materiaal-tensor T, die hier van afhangt, is ook niet nul. Buiten is r en T nul.
...Deze samenstellende geometrie is dus oplossing van twee verschillende vergelijkingen, met of zonder rechterlid. De materiedichtheid heeft een discontinuïteit op de oppervlakte van de ster (dit is ook het geval voor het paar oplossingen van Schwarzschild "binnen" en oplossingen van Schwarzschild "buiten". In dit geval is de ster een bol met constante dichtheid en deze valt plotseling naar nul op de oppervlakte van de ster). Maar de continuïteit van de geodeten kan toch worden gegarandeerd, via wiskundige voorwaarden waarvan de afbeelding al eerder is gegeven (afgeknotte kegel-kap).
...Wanneer de massa groot wordt en de krommingseffecten duidelijk zijn, verschuiven de banen dan duidelijker van het Kepleriaanse model, bijvoorbeeld in de buurt van een neutronenster. Hieronder de vooruitgang van het perihelium rond zo'n ster (rond de zon beweegt de baan van Mercurius 0,15 graden per eeuw).
...De formule en het programma die het mogelijk maken om deze banen te berekenen, zijn trouwens niets ingewikkeld. We zullen ze op een dag op deze site geven, voor de nieuwsgierigen.
...Op dit moment leggen we enkele meetkundige markeringen neer voor latere discussies, terwijl we erop wijzen dat de aangegeven modellen slechts indicatief zijn.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Sommaire article Sommaire Science Page d'Accueil
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004** :