f111
| 11 |
|---|
Mogelijke problemen bij het kiezen van een coördinatensysteem.
...We zullen de risico’s bespreken die ontstaan wanneer we een coördinatensysteem op een geometrische oplossing aanpassen, door deze oplossing uit te drukken in dat specifieke coördinatensysteem: het is immers noodzakelijk dat dit systeem geschikt is. Als we naar de hierboven getoonde oplossing kijken, en aannemen dat deze geometrie een oplossing is van een veldvergelijking, dan ging het gebruik van een (r, q)-coördinatensysteem uit van een topologie die "lokaal bolvormig" is, in twee dimensies natuurlijk. Dat wil zeggen dat binnen elk cirkelvormig gebied dat "centraal" is gericht op dit hypothetische geometrische middelpunt, altijd een kleinere cirkel kan worden ingeschreven, tot die cirkel uiteindelijk een punt wordt. Wiskundig gezegd: elke cirkel met straal r omsluit een "contractiecel".
...In drie dimensies is het lokale universum "als Russische poppen". Binnen een bol kan altijd een kleinere bol worden ingeschreven. In drie dimensies is dit een lokaal bolvormige topologie.
Kan het anders zijn?
Ja, als de topologie van het oppervlak "lokaal torusvormig" is. In twee dimensies ziet dat er zo uit:
...Opmerking: het object in de bovenstaande figuur is een 2D-oppervlak in de zin dat twee parameters nodig zijn om de positie van een punt te bepalen. In die zin is een kromme een "oppervlak met één dimensie". Wanneer een meetkundige over een cirkel spreekt, gebruikt hij de term "sfeer S1", oftewel "één-dimensionale sfeer": slechts één parameter, de coördinaat, is nodig om een punt op een kromme, een één-dimensionaal object, te bepalen. De sfeer S2, de "gewone" sfeer, en de cirkel, de sfeer S1, hebben iets gemeen: het zijn gesloten objecten (een begrip dat hier uit de topologie is overgenomen).
...Het aantal grootheden dat nodig is om de positie van een punt in een ruimte te bepalen, is precies de definitie van de dimensie van die ruimte. Daarom beschouwen we de ruimtetijd (x,y,z,t) als een hyperoppervlak met vier dimensies, omdat vier grootheden nodig zijn om een punt, een "gebeurtenis", te bepalen.
Einde van deze opmerking over het begrip dimensie.
...Het is belangrijk om één ding goed te onthouden. De meetkundige die een specifieke oplossing van een veldvergelijking construeert, is blind: hij kan het geometrische object dat hij verkrijgt niet zien. Hij kan het alleen verkennen via zijn geodetische lijnen, door deze te beschrijven in een bepaald coördinatensysteem. De poolcoördinaten van zojuist correspondeerden met de doorsnede van het oppervlak met een familie coaxiale cilinders:
en met een familie vlakken die door de gemeenschappelijke as van deze cilinders gaan.
In drie dimensies zou het om de doorsnede van de ruimte met een familie concentrische bollen gaan.
...Maar wat gebeurt er als we het oppervlak met dit soort buisvormige brug doorsnijden met een familie concentrische cilinders? Zolang de cilinders het oppervlak snijden, is alles in orde. Maar wanneer de omtrek van de cilinder kleiner wordt dan die van de "kegelingcirkel", worden deze doorsneden ... imaginaire krommen. Stel dat p de omtrek is van de kegelingcirkel. Koppel hieraan een lengte Rg zodanig dat p = 2πRg.
...Het is duidelijk dat elke cilinder uit de familie met r < Rg het oppervlak niet snijdt. Wanneer de meetkundige zich bezighoudt met de vorm van de geodetische lijnen voor r < Rg, zal hij imaginaire geometrische objecten vinden.
...Als men twee snijpunten zoekt van een rechte met een cirkel, bijvoorbeeld x = xo, vindt men twee reële waarden voor y wanneer de rechte de cirkel werkelijk snijdt. Anders zijn deze waarden zuiver imaginair.
...Als een mens een oppervlak verkent in het donker, zonder de vorm ervan te kunnen waarnemen, en onwetend is van de topologie die daarbij hoort — "lokaal torusvormig" — kan hij zeer verward raken. Het oppervlak kan worden geïdentificeerd met behulp van twee families van krommen:
...Elke kromme wordt gedefinieerd door één parameter. Een punt M, het snijpunt van deze twee krommen, is goed bepaald door twee grootheden (a,b), de waarden van de krommen die door M gaan.
...De eerste familie bestaat uit cirkels die geen geodetische lijnen zijn van het oppervlak (behalve de kegelingcirkel), terwijl de tweede familie bestaat uit geodetische lijnen met hyperbolische vorm, loodrecht op deze cirkels. De hyperbolische krommen doen denken aan invallende banen die het mogelijk maken om van het ene blad naar het andere te gaan. Natuurlijk kan een vergelijkbare situatie ook optreden in een driedimensionale ruimte met lokaal hypertorische topologie. De cirkels worden dan vervangen door een familie bollen, waarvan er één een kegelingbol is met minimale oppervlakte. De lijnen die loodrecht staan op deze familie bollen vormen invallende banen die het mogelijk maken om via deze hypertorische tunnel te gaan en op een ander blad (of laag) 3D te herkomen.
...Deze opmerking is niet terloops. We zullen er later nog op terugkomen wanneer we het zwart gat-model onder de loep nemen. In dat model wordt de massa van een deeltje, wanneer men "binnen de horizonbol" komt, ... zuiver imaginair (en nog veel meer dergelijke dingen). Dan is het gerechtvaardigd om te vragen of we nog wel in het hyperoppervlak ruimtetijd zijn. Is het gekozen coördinatensysteem (t, r, q, j), dat een lokaal hypersferische topologie impliceert (bestaan van een radiale coördinaat r dat waarden kan aannemen die kleiner zijn dan de straal van de horizonbol, de Schwarzschildbol), daadwerkelijk relevant?
Een bekende astrofysicus schreef enkele jaren geleden:
- We weten nu veel meer over het binnenste van zwarte gaten.
Maar hebben zwarte gaten, als ze bestaan, een binnenste, of zijn ze misschien een lokaal hypertorische topologie?
...Zo zien we hoeveel een keuze van coördinatensysteem kan beïnvloeden. De geometrische oplossing bestaat. Ze heeft geodetische lijnen. Maar wij kunnen dit alleen "lezen" door het te projecteren op onze mentale representatie: een euclidische ruimtetijd, die zelfs niet relativistisch is. Een coördinatensysteem kiezen, is hetzelfde als een leessysteem of projectiesysteem kiezen. ...Zoals de figuren in Platon’s grot kunnen we slechts schaduwen observeren op een "euclidisch scherm". Maar dan moet men nog wel het juiste doelwit van het "projectiesysteem" kiezen.
../../../bons_commande/bon_global.htm...
Samenvatting artikel Overzicht Wetenschap Startpagina
**
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004** :