f122
| 22 |
|---|
De meetkundige context.
...Een bol is een ruimte van dimensie 2. Er zijn twee parameters nodig om een punt daarop te lokaliseren. Het is een ruimte met een topologie (voor meer details over de betekenis van het woord topologie, zie mijn stripboek De Topologicon, Uitg. Belin). Een bol heeft niet dezelfde topologie, dezelfde "vorm" als een torus. De bol heeft geodetische lijnen. Men kan er een traject tussen twee punten M1 en M2 in inschrijven en de afgelegde lengte s meten. Deze lengte is onafhankelijk van de gekozen coördinaten om de punten te lokaliseren, net zoals de geodetische lijnen die de oppervlakte bevolken.
...Verbind het middelpunt van deze bol met alle punten ervan. We krijgen een oneindig aantal halve lijnen. Deze kunnen worden gepositioneerd met hetzelfde coördinatensysteem als de punten, bijvoorbeeld twee hoeken q en j.
Hierboven onze bol. We hebben een gat gemaakt om het geheel van de vectorstralen te tonen.
Verwijder nu de bol en houd alleen de vectorstralen over.
...Deze halve lijnen zijn afgekort, maar in werkelijkheid zijn ze oneindig lang. Elke halve lijn is slechts bepaald door twee parameters, bijvoorbeeld twee hoeken. De metrische structuur is verdwenen. Geen geodetische lijnen meer, geen lengtes meer. Wat blijft er over?
-
Elke halve lijn heeft een omgeving. Men kan naburige halve lijnen kiezen om deze in een soort kegel te omsluiten. Binnen deze kegel kan men een smalere kegel maken die de halve lijn bevat. Het is een zaak van concentrische cirkels of Russische poppen, maar dan met bundels halve lijnen. Maar het gaat er niet om geodetische lijnen te tekenen op deze kegels. Elke generatrix is simpelweg een verzameling van twee parameters, bijvoorbeeld twee hoeken.
-
Er is een intuïtief idee van differentieerbaarheid. Er is geen discontinuïteit in deze "textuur".
Neem een vlakke oppervlak, met geodetische lijnen, lengtes enzovoort...
...Welk coördinatensysteem ik ook kies, ik moet altijd de positie van mijn punten lokaliseren met twee reële getallen (x,y), (r,q) enzovoort...
Deze reële getallen worden genomen uit R², dat wil zeggen uit de verzameling van paren reële getallen, zoals (3,8705 , -17,56). Elk paar punten uit deze ruimte van paren reële getallen heeft een omgeving. Het is "continu".
Deze voor-metrische objecten worden variëteiten genoemd (wiskundigen hebben de gave om woorden te kiezen die voor het gewone volk geen enkele suggestie oproepen).
...Op dit punt kan men dus een stap overslaan waarbij men een verzameling van n reële getallen (ruimte met n dimensies) beschouwt zonder automatisch een idee van lengte of geodetische lijnen eraan te koppelen.
...Het is een beetje alsof men een oppervlak beschouwt waarvan de punten alleen maar de beperking hebben om contact te houden met hun buren. Het zou oneindig elastisch en vervormbaar zijn. Conventioneel, als we een oppervlak voorstellen door zijn rand (of zijn zichtbare omtrek), dan roepen we het concept van "variëteit" op door simpelweg de rand weg te laten:
...Deze afbeelding doet trouwens denken aan de schaduw van het object. En een schaduw heeft noch substantie, noch vorm. Zijn meetkunde hangt af van het object waarop hij wordt geprojecteerd.
Men kan de variëteit (in het Engels: manifold), zonder metriek, ook voorstellen als een familie van lijnen.
...Hier zijn lijnen getekend die eruitzien alsof ze parallel zijn. Die lijnen zouden eigenlijk... willekeurig kunnen zijn, zolang hun nabuurschapsrelaties behouden blijven.
...Uiteindelijk is een goede afbeelding van een variëteit V2 een pak spaghetti dat eerst wordt gekookt en daarna op elke mogelijke manier kan worden gebogen en gedraaid, zonder de volgorde van de spaghettis ten opzichte van elkaar te veranderen.
Ongeacht alles kan men op een variëteit een tweevoudige overdekking uitvoeren, die wordt uitgerust met metrieken, zoals voorgesteld in de afbeelding hieronder:
Hier zijn twee 2D-bladen met identieke metrieken (euclidisch). Maar men kan net zo goed het volgende doen:
...We noemen M en M* geconjugeerde punten. Het feit dat de twee geconjugeerde ruimtes worden opgebouwd als tweevoudige overdekking van een variëteit betekent simpelweg dat er een punt-voor-punt correspondentie bestaat tussen de twee bladen F en F*, maar bijvoorbeeld de afstanden tussen paren homologe punten (M1,M2), (M1, M2) kunnen verschillend zijn. De enige beperking is uiteindelijk dat de omgevingen van punten ook corresponderen en dat aan elke niet-singuliere regio van een blad een eveneens niet-singuliere regio van het andere blad correspondeert.
...We komen terug bij het pak spaghetti van eerder. De structuur van de "variëteit-structuur" is er alleen voor om de injectieve afbeelding tussen de twee meetkundige objecten te construeren. De afbeelding hierboven is bedoeld om vragen als "hoe zijn de bladen F en F* ten opzichte van elkaar geplaatst? Als F een universum is, waar is dan F*?" volledig te ontrafelen. Deze bladen zijn simpelweg geconjugeerd, met een punt-voor-punt correspondentie en deze geconjugeerde punten kunnen worden beschreven met dezelfde coördinaten.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Inhoudsopgave artikel Inhoudsopgave Wetenschap Startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004: