| 3 |
De kromming (positief).
...Toen we onze driehoek tekenden,
bestaande uit geodetische lijnen, op een vlak, was de som
van zijn hoekpunthoeken gelijk aan p.
Een vlak... is een plat, "niet-gekromde", euclidische oppervlakte. De som
van de hoeken van deze driehoek is dus de euclidische som. In het
vorige experiment zagen we dat als een driehoek niet de
top van onze kegel bevatte, de som euclidisch bleef. Daarentegen, als de
driehoek de top S bevat, dan vertoont deze som een overschot
q, ongeacht
de driehoek, zolang hij dit punt bevat. We zullen zeggen dat de top van de
kegel een punt van geconcentreerde kromming is.
...We kunnen nu naar andere
experimenten overgaan. Na het maken van twee kegels, met
uitsparingen q1 en
q2, kunnen we
deze twee oppervlakte-elementen aan elkaar plakken.
...Een eenvoudigere manier om te handelen
bestaat erin twee uitsparingen in een stuk karton te maken
en het volgende oppervlak te construeren:
U kunt dan op dit oppervlak zoveel geodetische driehoeken
tekenen als u wilt:
-
Die noch S1 noch S2 omsluiten: Som van de hoeken: p
-
Die alleen S1 omsluiten: Som van de hoeken p
- q1
- Die alleen S2 omsluiten: Som van de hoeken: p
- q2
- Die beide punten S1 en S2 omsluiten: Som van de hoeken
: p + q1+
q2
...Men kan zich easily voorstellen dat men
een groot aantal mini-posikegels met een kleine hoek Dq
kan maken en deze op elkaar kan plakken. Men zou zelfs
kunnen zorgen voor een constante krommingsdichtheid
per oppervlakte-eenheid, door deze kromming te assimilëren aan
de som van de Dq-associaten
bij elke top van deze mini-posikegels.
...Door deze mini-posikegels steeds
kleiner te maken (net als de elementaire hoek Dq
die ermee geassocieerd is), kan men dit gebruiken om een
deel van een oppervlak met constante krommingsdichtheid te construeren.
De bol is een oppervlak met constante krommingsdichtheid.
Men zal eenvoudiger zeggen met constante lokale kromming.
Een ei is een gekromd oppervlak, met variabele krommingsdichtheid. Men zal eenvoudiger zeggen met variabele lokale kromming.
...De Algemene Relativiteitstheorie
bestaat erin massa-dichtheid r
en lokale kromming te identificeren. Natuurlijk behandelt de Algemene
Relativiteitstheorie niet oppervlakken met twee dimensies, noch zelfs
met drie, maar hypersurfaces met vier dimensies. Men mag dus niet
te veel vragen van het voorgaande en we moeten deze figuren beschouwen
als didactische beelden, bedoeld om ideeën vast te leggen. Maar ze
zijn niet zo slecht als dat.
Didactisch 2D-beeld van een hemellichaam.
Een hemellichaam, zoals de zon, is een concentratie van materie, omringd,
anders dan door leegte, tenminste door een quasi-leegte (dus een regio met
zeer zwakke kromming). In twee dimensies zal het didactische beeld dat van
een afgeronde kegel zijn.
...Een afgeronde kegel wordt gemaakt
met behulp van twee elementen: een sferische kap,
met constante kromming (of "constante krommingsdichtheid")
en een kegelstomp. Deze kegelstomp is "plat", zijn krommingsdichtheid
is nul. Dit is een euclidisch oppervlak. Dit is het didactische
2D-beeld van een hemellichaam met constante massa-dichtheid r.
...Men zou terloops kunnen afvragen hoe
een kegelstomp en een sferische kap perfect aan elkaar te passen,
zodat het raakvlak continu is.
...Dit is eenvoudig. De kegelstomp wordt gemaakt
van een kegel, wat een uitsparing van een hoek
q impliceert. De sferische kap
bevat een bepaalde "hoeveelheid kromming", die ook een hoek is.
Dit is de som van alle hoeken van de mini-posikegels die haar vormen.
Deze twee hoeken moeten gelijk zijn.
Maar hoe de hoeveelheid kromming in een gegeven
sferische kap te evalueren? .
...
Inhoudsopgave
artikel Inhoudsopgave
Wetenschap Startpagina
Terug naar
Gids-Wetenschap Aantal weergaven van deze pagina sinds 1 juli 2004
: