| 4 |
Totale kromming.
...We kunnen een bol maken door mini-posiconen naast elkaar te plaatsen. Maar tijdens deze operatie zal dit oppervlak met constante kromming (of krommingsdichtheid of lokale kromming) zich sluiten. Het bevat dus een zekere kromming, maar welke?
...Als ik een geodetische driehoek op een bol teken, zal die een bepaald aantal mini-posiconen omsluiten, een zekere "hoeveelheid kromming", die een hoek is. Deze zal eenvoudigweg evenredig zijn met de oppervlakte van de driehoek, of preciezer met de verhouding tussen de oppervlakte s van de driehoek en de oppervlakte S van de bol.
...Maar we hebben hierboven gezien dat wanneer we een geodetische driehoek tekenden op een oppervlak gemaakt van aaneengevoegde posiconen, de afwijking van de Euclidische som gelijk was aan de som van de geconcentreerde krommingen verbonden aan elke top van kegels binnen onze driehoek. Het volstaat dus de som van de hoeken a, b, g van de bovenstaande driehoek, gemaakt uit drie geodetische bogen van de bol, te meten om een maat te krijgen voor de hoeveelheid hoekkromming in deze driehoek. De geodeten van de bol zijn haar "grote cirkels".
...Laten we onze bol in acht gelijke delen snijden. We verkrijgen acht driehoeken gevormd door geodetische bogen, waarvan de drie hoeken recht zijn.
...Elk van deze driehoeken bevat dus een kromming gelijk aan p/2. Aangezien er acht zijn, bedraagt de totale kromming van de bol dus 4 p.
...Deze kleine opmerking om te tonen dat men geometrische resultaten kan opbouwen met uiterst eenvoudige redeneringen.
...Terugkerend naar het thema van de stompe kegel, zien we dat de flank van het object afhangt van de hoeveelheid kromming "die binnenin vervat is", waarbij deze kromming punctueel (kegelpunt) of verdeeld over een bolkap kan zijn. Men kan de kap naar een punt laten neigen, door ze homothetisch te verkleinen (op zodanige wijze dat ze altijd dezelfde "hoeveelheid kromming" bevat).
Trajectoria.
...In de Algemene Relativiteit is het sleutelidee eenvoudig: de trajectoria van objecten, deeltjes, fotonen of materie gelijkstellen aan geodeten. Natuurlijk zijn het geodeten van een hyperoppervlak met vier dimensies. Dus hebben we ook hier alleen maar didactische beelden.
Als we onze stompe kegel nemen, kunnen we er geodeten op tekenen en ze op een plat vlak projecteren.
...Alle deeltjes volgen geodeten van het hyperoppervlak: de materiedeeltjes, maar ook de fotonen en de neutrino's. Daarom hebben we ons vermaakt met het weergeven van een geodeet die het object volledig doorkruist. Een neutrino kan de zon zonder problemen doorkruisen.
...Maar wat is dat vlak waarop we deze geodeten projecteren? Het is de manier waarop we de ruimte voorstellen. Ons "mentale universum" is volledig Euclidisch en ons denken "plat". Wanneer we een komeet de zon zien scheren, zou het nooit in ons opkomen dat ze in feite "recht vooruit" gaat, dat wil zeggen dat ze een geodeet van het hyperoppervlak volgt. Onze waarneming van de wereld is figuur 24', waarin een hemellichaam objecten die in zijn nabijheid passeren "aantrekt".
Inhoudsopgave artikel Inhoudsopgave Wetenschap Startpagina
Terug naar Gids-Wetenschappen Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004: