| 10 |
Representatieruimte.
...Men had gezien dat een cilinder een afwikkelbaar oppervlak was. Neem nu een vel papier. Het is een plat, Euclidisch oppervlak. De geodesischen zijn rechten. Teken enkele rechten op dit vel en verfrommel het vervolgens.
...Als u dit verfrommelde platte oppervlak zou kunnen verstijven, zou u merken dat deze bewerking de verdeling van de geodesischen geenszins heeft gewijzigd, die u opnieuw met uw plakband zou kunnen tekenen. U hebt eenvoudigweg gespeeld met de wijze van representatie van dit vlak in zijn driedimensionale inbeddingsruimte.
Een minder ingewikkelde manier van werken bestaat erin een plaat staal om te vormen tot... golfplaat:
Geodesischen: onveranderd.
...De meetkundige objecten bestaan onafhankelijk van de wijze waarop wij ze ons voorstellen, onafhankelijk van hun representatieruimte.
...Wij worden geacht in een "vierdimensionaal hyperoppervlak" te wonen: de ruimtetijd. De Algemene Relativiteit bestaat erin de meetkunde ervan te proberen op te bouwen als oplossing van een veldvergelijking, en vervolgens die meetkunde te "lezen" door de geodesischen van het hyperoppervlak te analyseren. Het is duidelijk dat er dan geen sprake meer is van een representatieruimte. Daarvoor zou men over een visie in vijf dimensies moeten beschikken, die wij niet bezitten.
...In de praktijk gebruiken wij coördinaten die die van de Euclidische projectieruimte zijn. Laten we ons voorstellen dat wij een meetkundige oplossing zoeken die geschikt is om de ruimtetijd in de omgeving van een massief lichaam en in het inwendige daarvan te beschrijven. Wij zullen veronderstellen dat het systeem sferische symmetrie bezit. Bovendien zullen wij veronderstellen dat dit systeem stationair (of quasi-stationair) is.
...Wij zullen dan sferische coördinaten (r, q, j) gebruiken. In twee dimensies zullen wij er slechts twee hebben en zal onze symmetrie cirkelvormig zijn. Wij zullen dan het stelsel van poolcoördinaten van het vlak gebruiken:
...Dit model van het stompe lichaam is een didactisch 2d-beeld van een stationaire oplossing die daadwerkelijk bestaat in de Algemene Relativiteit en die door de Oostenrijker Schwarzschild in 1917 werd bedacht als bijzondere oplossing van de "Einsteinvergelijking":
S = c T
die hierboven al werd voorgesteld. Deze oplossing is intelligent en subtiel. Rekentechnisch is zij niet eenvoudig op te bouwen. Deze precisering om te trachten een mythe te verdrijven: die van een Einstein, een genie geïsoleerd in de wereld van zijn tijd, bevolkt door onwetenden.
...Uitgaande van deze oplossing toont men dan aan dat er rond een massa met sferische symmetrie vlakke geodesischen bestaan, gelegen in vlakken, en men weet hun vorm te berekenen: r = f (q). Deze trajectorieën (of althans hun projectie in onze mentale, Euclidische representatieruimte) zijn "quasi-Kepleriaans" en de wetten van Kepler verschijnen dan als een benadering, wanneer de massa die deze meetkunde schept (in de Newtoniaanse visie, deze "kracht") gematigd blijft, dat wil zeggen dat de plaatselijke kromming in deze massa zwak blijft.
...Deze oplossing is een van de scharnieren van de Algemene Relativiteit en, hoewel dit niet kan worden opgeroepen door eenvoudige didactische beelden zoals die wij de lezer bieden, is zij het die het bijvoorbeeld mogelijk maakt de periheliumverschuiving van Mercurius te voorspellen en te berekenen. Einstein gebruikte deze oplossing om dit reeds bekende effect te verklaren en oogstte tegelijk alle lauweren van wat voortaan "de theorie van Einstein" werd genoemd. Waarom heeft Schwarzschild zijn ontdekking niet zelf uitgebuit? Omdat hij er absoluut aan hield zich in te zetten en naar de loopgraven te vertrekken, waar hij werd vergast en kort daarna stierf.
...Overigens is men er niet erg zeker van dat deze beroemde Einsteinvergelijking wel van hem is. Blijkbaar zou zij hem door de grote wiskundige Hilbert zijn gesuggereerd. Einstein ontving evenmin enthousiast de latere ontdekking van de Rus Friedmann, die de niet-stationaire oplossing van de veldvergelijking ontdekte die het mogelijk maakt de evolutie van het heelal te beschrijven. Hetzelfde in 1921 voor het werk van de jonge wiskundige Kaluza, wiens werk, herontdekt, nu het vertrekpunt vormt van de snaartheorie. Deze dingen zijn wetenschappelijk van weinig belang en doen niets af aan de waarde van Einstein, maar tonen aan dat sportiviteit niet noodzakelijk samengaat met de wetenschappelijke waarde van een individu.
In de door Schwarzschild ontwikkelde oplossing is de ruimte technisch gezien in twee delen verdeeld. In het inwendige van het hemellichaam wordt de materiedichtheid r constant verondersteld. De energie-materietensor T, die daarvan afhangt, is eveneens niet nul. Buiten zijn r en T nul.
...Deze samengestelde meetkunde is dus een oplossing van twee verschillende vergelijkingen, met of zonder tweede lid. De materiedichtheid vertoont een discontinuïteit aan het oppervlak van het hemellichaam (dit is eveneens het geval voor het paar "inwendige" Schwarzschild-oplossing en "uitwendige" Schwarzschild-oplossing. In dat geval is het hemellichaam een bol met constante dichtheid en die valt bruusk tot nul aan het oppervlak van het hemellichaam). Maar de continuïteit van de geodesischen kan niettemin worden verzekerd, via wiskundige voorwaarden waarvan het beeld hierboven werd gegeven (aansluiting afgeknotte kegel-bolkap).
...Wanneer de massa belangrijk wordt en de krommingseffecten uitgesproken, wijken de trajectorieën duidelijker af van het Kepleriaanse model, bijvoorbeeld in de omgeving van een neutronenster. Hierna de periheliumverschuiving rond een dergelijk hemellichaam (rond de zon schuift de ellipsbaan van Mercurius 0,15 graad per eeuw op).
...De formule en het programma die het mogelijk maken deze trajectorieën te berekenen zijn overigens allesbehalve ingewikkeld. Wij zullen ze op deze site op een dag geven, voor de nieuwsgierigen.
...Op dit ogenblik plaatsen wij enkele meetkundige bakens met het oog op latere besprekingen, terwijl wij eraan herinneren dat de aangegeven modellen slechts een indicatief karakter hebben. .
Inhoudstafel artikel Inhoudstafel Wetenschap Startpagina
Aantal bezoeken aan deze pagina sinds 1 juli 2004: